钦定古今图书集成历象汇编历法典
第一百十五卷目录
算法部汇考七
算法统宗三〈方田章第一〉
历法典第一百十五卷
算法部汇考七
《算法统宗三》方田章第一
此章以田畴界域之形状，求亩步之积实。以广纵而求方、直、圭、梭、梯、斜等形。以周径而求圆田、碗田、环田等形。按田之形状甚多，具载难尽，学者不必执泥，在于临时机变。必须截盈、补虚、俾小、减大，以合规式。但田中央先取出方、直、勾、股、圭、梭等形，另积旁馀并而于一，然后用法乘、除之，用少广章开平等法还原，始为精密之术焉。
丈量田地总歌
古者，量田较阔长，全凭绳尺以牵量。一形虽有一般法，惟有方田法易详。若见喎斜并凹曲，直须俾补取其方。却将乘实为田积，二四除之亩数明。
又歌
方自乘之积步明，直田长阔互相乘。勾股圭梭乘折半，圆田周径折半乘。周自乘之十二约，径自乘之七五乘。周径相乘四归是，碗田丘田同上乘。环田内外周相并，折半须将径步乘。梯斜两头相并折，长乘便见积分明。三广倍中加二阔，四归得步以长乘。弧矢弦长并矢步，半之又用矢相乘。牛角眉田长步并，折半还将半径乘。二不等并东西步，折半仍将阔步乘。蛇船三阔同相并，三归得步以长乘。四不等田分两段，一为勾股一斜形。田形不一须推类，二四除之亩数明。
新制丈量步车图新制丈量步车图
前图下段作车三式，总合于一以完成车样。于上外套似无。盖底墨匣两旁木比十字。木空长存作两头。横木插角合栒。内空仅容十字转动。下横木凿一匾眼，后高前低，出篾。上可钉环，下钉钻脚。十字中心如墨斗搅转之心。作曲尺，样三折装在十字中心。内者方而不动，外者俱圆活动。以便收放，即似纺车之形。套匣上头，横木之下，凿一眼。其十字四头各开一口。但遇一头凑著，匣眼用拴拴之，置锁其篾，择嫩竹竹节平直者。接头处用铜丝扎住。篾上逐寸写字。每寸为二釐。二寸为四，三寸为六，四寸为八，不必釐字。五寸为一分。自一分至九分俱用分字。五寸为一步，依次而增至三十步。以上或四十步，以下可止。篾上用明油油之，虽污泥可洗。
又后制一式，只用十字内中开槽留头，不通中。用木圆饼转篾。篾虽不散，但转其篾尽，皆挨擦损坏甚速，总不如前制车式。篾在十字，十字转动，其篾安静，故难坏也。
丈量之法以五尺为一步。每步自方五尺计积二十五尺也。以五尺计之，步下五寸为一分。一寸为二釐积步。问亩，用二四归除亩。问积步，用二四乘法。
〈今惟休邑新立亩法。〉方圆定则九图
假如今有方田一丘，长阔各五十步。问：积、税各若干。
答曰：积二千五百步，税十亩零四分一釐六毫六丝。
方田
法曰：置长五十步，以阔亦五十步乘之，得积二千五百步为实。以亩法二四除之。定位法先从原实首位数几十起，顺下至几步止。下一位定法，首十数逆数升上至实首位，合得二千顺下，即是五百也。馀皆仿此。
假如方田斜量东南角至西北角，西南角至东北角，
方形斜量
各斜七十步。问：积、税各若干。答曰：积二千四百五十步，税十亩零二分零八毫。
法曰：置斜弦七十步自乘，得四千九百步。折半，得二千四百五十步为实。
以亩法二四除之，合问。定位同前。
假如直田南北各长六十步，东西各阔三十二步。问：积、税各若干。
直田
答曰：积一千九百二十步，税八亩。法曰：置长六十步，以阔三十二步乘之，得积一千九百二十步为实。以亩法二四除之，合问。
假如今有圆田径五十六步，周一百六十八步。问：积
圆田
步若干。
答曰：二千三百五十二步。法曰：以径问积，置径五十六步自乘，得三千一百三十六步。又以七五乘
之，得积二千三百五十二步。若周径问积步，置周一百六十八步，以径五十六步乘之。再以四归之，亦得。若周问积步，以周自乘，用十二除之，亦得。
假如覆月田弦长五十六步，矢阔二十八步。问：积步
覆月形
若干。
答曰：一千一百七十六步。法曰：置弦五十六步并矢二十八步共八十四步，折半，得四十二步。又以矢二十八步乘之，得积。
一法以弦矢相乘，另以矢自乘，并之，折半，亦得。假如弧矢田弦长四十步，矢阔八步。问：积步共该若
弧矢形
干。
答曰：一百九十二步。
法曰：置弦矢相并得四十八步，折半得二十四步。又以矢八步乘之，得积合问。
又考如前圆田内除方田一丘。方四十步，占积一千六百步，四边四弧矢占积七百六十八步，共合圆田
考矢量圆图
积，却多一十六步。其多者，何也。是弦自乘得一千六百步。每百步中多一步，该十六步也。或每弧矢内减去四步，只该一百八十八步。又考弧矢田居直田四分之三。
假如孤矢田弦长四十步，矢阔八步。问：圆中径该若干。
〈又设此问以辨前大小二弧矢虚实之数。〉答曰：今改正得径五十六步。
法曰：置弦长折半得二十步。自乘得四百步。以矢八步除之得五十步。加矢八步共得五十八步。却比前图径多二步。今减去是也。
今改其数乃是细半个。圆田因弦长而矢短，故虚数差，不准。
今减二步者，何也。是弦长折半得二十步，是十步中多一步，故减二步也。或云弦长四十步，矢二十步。问圆径者。置弦四十步折半得二十步。自乘得四百步。以矢二十步除之，得二十步。加矢二十步，即得。此乃是平半圆田，则数再无差矣。
假如圭田中正长六十步，下阔三十二步。问：该积若干。
答曰：九百六十步。
圭田 即半梭
法曰：置中长六十步，以下阔三十二步乘之，得一千九百二十步。折半得积九百六十步。合问。圭形乃直田之半，故用折半之法。梭形则是二圭合一也。
假如三角田每面一十四步。问：该积若干。
答曰：八十四步。
法曰：置十四步以六因之，得八十四步。以七归之，得
三角形
中长十二步。另以每面十四步折半，得七步。因之，合问。三角即圭也，以半阔乘中长十二步亦得。
〈按三角田用六因七归得中长十二步。其数有差。今以句弦求股法校之，得十二步一分〉有零之数。
假如梭田中长五十二步，中广一十二步。问：积若干。答曰：三百一十二步。
梭形
法曰：置长五十二步，以广十二步乘之，得六百二十四步。折半得积三百一十二步。合问。勾、股、圭、梭、乘，折半。田形虽异，理一同。
假如斜圭田长三十步，阔一十六步。问：该积若干。
斜圭形
答曰：二百四十步。
〈计税一亩。〉法曰：置长三十步，以阔十六步乘之，得四百八十步。折半得积二百四十步。合问。
假如梯田上广二十步，下广三十步，中长四十五步。问：该积若干。
答曰：一千一百二十五步。
梯田
法曰：置上下二广并之得五十步。折半得二十五步。以中长四十五步乘之，得积。合问。
一法并二广以乘长，折半亦得。
假如斜田南广三十步，北广四十二步，纵六十四步。问：该积若干。
斜形田
答曰：二千三百零四步。法曰：置南北二广并得七十二步。折半得三十六步。以纵六十四步乘之，得积。合问。
假如眉田上周四十步，下周三十步，径八步。问：积若
眉形田
干。
答曰：一百四十步。法曰：置上下二周相并得七十步。折半得三十五步。另以径八步折半得
四步。乘之得积。合问。
假如牛角田中依湾长十七步五分，阔八步。问：该积若干。
牛角形如眉之半
答曰：七十步。
法曰：置中长一十七步五分，以广八步折半，得四步乘之，得积。合问。或量内外湾并之，折半。另以半径乘之亦得。
假如榄形中长四十步，阔一十六步。问：该积若干。
榄形如圆弧矢合一
答曰：三百八十四步。法曰：置长四十步如弧弦，以半阔八步如矢并得四十八步。折半得二十四步。又以矢八步乘之，得一百九十二步，即一弧矢之积。倍得榄积。合问。
假如三广田南广二十六步，北广五十四步，中广一十八步，正长八十六步。问：积若干。
答曰：二千四百九十四步。
法曰：并南北二广折半，得四十步。加中广共五十八
三广形即倒顺二梯
步。以长乘之，得四千九百八十八步。折半得积。合问。
一法倍中广，并南北二广，共一百一十六步。以四归之得二十九步。以长乘之亦得。按三广田乃是二段梯
田之并，必其三广相去，俱停乃可。以三广法算，或上段长，下段短；或上段短，下段长。并不可用。三广法当以二梯算而并之，乃为无弊。又按鼓田杖鼓田，又有箭箬、箭翎田亦要三广相去俱停，可用三广法。若不停者，亦可以二梯或以二斜算而并之是也。
假如勾股田股长六十步，勾阔三十二步。问：积若干。
勾股形
答曰：九百六十步。法曰：置股长六十步，以勾阔三十二步乘之，得一千九百二十步。折半得九百六十步。合问。
假如直田广纵相和九十二步，两隅斜去六十八步。问：积若干。
答曰：一千九百二十步。
〈若折半如句股积。〉直如句股和
法曰：置斜六十八步自乘得四千六百二十四步。另以相和九十二步自乘得八千四百六十四步。以少减多馀三千八百四十步。折半得积一千九百二十步。合问。
假如直田纵长六十步，广斜相和一百步。问：积步若干。
答曰：一千九百二十步。
〈若折半如句股积。〉法曰：置广斜百步自乘得一万步。另以纵六十步
直如句弦和股弦和同
自乘得三千六百步。以少减多馀六千四百步。折半得三千二百步为实。以广斜一百步为法除之，得广三十二步。以纵六十步乘之，得积一千九百二十步。合问。
〈按句弦和以股〉自乘。以句弦和除之得较较。加和折半得弦。弦减较即得句。再以股乘之见积。
假如直田两隅斜去六十八步，只云纵多广二十八步。问：积若干。
答曰：一千九百二十步。
〈若折半如句股积。〉直如句股相差
法曰：置斜六十八步自乘，得四千六百二十四步。另以纵多广二十八步自乘，得七百八十四步。以少减多馀三千八百四十步，折半得积。合问。
假如直田广三十二步，只云斜多纵八步。问：积若干。
直如股弦差
答曰：一千九百二十步。
〈若折半如句股积。〉法曰：置广三十二步自乘得一千零二十四步。另以多八步自乘得六十四步。以少减多馀九百六十步为实。
倍多八步作一十六步。为法除之得纵长六十步。以广三十二步乘之得积。合问。
假如直田纵六十步，只云斜多广三十六步。问：积若干。
答曰：一千九百二十步。
〈若折半如句股积。〉直如句弦差
法曰：置纵六十步自乘得三千六百步。另以多广三十六步自乘得一千二百九十六步。以少减多馀二千三百零四步为实。倍多三十六步作
七十二步。为法除实得广三十二步。以纵六十步乘之得积。合问。
假如四不等田一丘截作三段。量之，一段直田长四十步，阔二十八步。南边句股一段股长三十二步，句
四不等形斜形正量
阔十步。东边句股一段股长四十步，句阔四步。问：共积若干。答曰：三段共积一千三百六十步。法曰：先置所截直田长四十步，以阔二十八步乘之，得直积一千一
百二十步。又置南句股一段股三十二步，以句十步乘之，折半得积一百六十步。再置东向股一段股四十步，以句阔四步乘之，折半得积八十步。三共并积一千三百六十步。
〈此乃准数毫忽无差。〉若依古法南边依斜弦量比股多一步五分二釐，东边依斜弦量比股多二分。总合积多地二十七步二分七釐。今考较当以截法皆得其当，以见前古法。有差使学者易晓此理也。但遇歪斜不等，必有斜步。岂可作正步相乘。若截之，庶无误矣。
假如五不等田一丘，截作二段量之，四角斜长三十六步，上径十五步，二分下径十二步八分，三角长二十二步，径一十二步。问：积若干。
五不等形
答曰：共积六百三十六步。法曰：先置四角二径并得二十八步，折半得一十四步。以乘长三十六步，得积五百零四步。又置三角长二十二步，以径十二步乘之，折半得积一百三十二步。二共并得积六百三
十六步。合问。
倒顺二圭
其形截作二圭量之，倒下圭中长二十二步，阔八步。向上顺圭中长一十二步，阔六步。问：共积若干。答曰：二共积一百二十四步。法曰：置倒圭中长数，以半阔四步乘
之得积八十八步。又以顺圭中长数，以半阔三步乘之得积三十六步。二数相并，共得积一百二十四步。合问。
三圭形
其形截作三圭形量之，东西二圭形同。中弦长二十六步，东径八步，西径十二步。又北半梭之弦十四步，径五步。问：共积若干。答曰：二百九十五步。法曰：置东西所共中弦长数，以二
径并之。折半、乘得二百六十步。又以北弦十四步，以径五步乘之。折半得三十五步。二共并得积二百九十五步。合问。
假如中段四角，中弦十六步，以东西二径共一十四
六角形
步折半乘之，得积一百一十二步。南尖三角，弦十步。以半径二步乘之，得积二十步。西弧矢弦十三步，以半径二步乘之，得积二十六步。东北三角弦十二步，以半
径二步乘之得积二十四步。四共计积一百八十二步。合问。
假如东北弦八步，以半径三步乘之，得积二十四步。
八角形
又正东三角弦六步，以半径二步乘之得积一十二步。又弦十八步，以半径四步乘之得积七十二步。又南弧矢弦八步加矢折半，以矢乘得积十步。
又西三角弦二十四步，以半径六步乘之得积一
百四十四步。又西北弧矢弦十四步加矢折半，以矢乘得十六步。六共计积二百七十八步。
凡图形内用点断节，以为绳索。耕形定式之辨。
图图
右。量田地之法举此数条，已见大意。若截作几段凑形以例，其馀如蛇、碗、丘、扇、辋、盆、瓜、罄、欹侧者，形状极多，难以一一尽述。考究校之数，无准积，恐误学者。故尽删去不录。今纂集直指图形，具之于前，以为通变之术。若平地而无碍者，或作几段定形立法，只以句股、圭、梭、梯、斜弧矢、牛角之类，截而量之。或并或减以求实积。倘遇基地有房屋者，难用此法，必须取其方直。或借别地以凑方直。算积内减除，还则形可穷而数。可尽学者详玩，形势理何异焉。
方图实
凡量田地切不可以周围步数算，而计积。其谬已甚。今举方直二形较之，其方
直图虚
田每面三步，计积九步。其直田长四步，阔二步，计积八步。论周围俱各一十二步。二者小数较之，而差一步，何况于大者乎。
解曰：方者内中藏一步，
而无周直者，外周而无藏隐也。
假如钱田外周二十七步，径三步，内钱眼方周一十二步。问：该积若干。
答曰：五十一步四分步之三。
〈步之三即是七分五釐也。〉原法曰：置外周二十七步自乘得七百二十九步。以圆法十二除之，得六十步零七分五釐。以减内方周十二步，自乘得一百四十四步。以方周法十六除之，得内方积九步，馀积五十一步七分五釐。
孤峰马杰断曰：钱塘算师吴信民编集比类，世罕闻。孤峰裁改鹤坡校钱田之法，有差争。
又论：此钱眼方周一十二步，中间明有迹一十六步，何云九步。已知圆三、径一，得径九步。除方四步、外径一面，岂有三步哉。
又增比意驻云飞，比意钱田题法难明不足观。非俺自誇羡，改正珍宝鉴
〈嗏〉二十七步圆眼中，间十二方周改法精制，算图样明名天下传。答曰：改正得四十四步七分五釐。
又改正法置钱周二十七步自乘，得七百二十九步。以圆法十二除之，得六十步零七分五釐为实。另以钱眼方周一十二加八，得二十步。与一十二步相乘得二百四十步为实。以方周法一十六除之，得一十五步。加一步共一十六步。以减前实六十步零七分五釐，馀四十四步七分五釐。合问。大位因杰辨吴氏之非，故立图考校前法。每一步自方五尺横直相乘，得积二十五尺。乃是本身连根，其理甚明。
假如钱内方周每面三步，四围共合为十二。得积九步无差。
据杰用方束之法反正为邪，不免有差殊。不知束积皆是论个、论只之物。而无零者宜当除根不辩，自明矣。求束法具载少广章。
大位歌曰：孤峰改正吴氏法，未得真传奇妙诀。丈量之法要分明，方自乘之为何说。方周摺角数连根，岂可除根用束法。今立图形考校明，例依吴氏为定决。
图
缺田亩演段根源图解
方求积法：置方十步自乘，得积一百步。合问。
方演段图
张丘建方求斜法：置方十步，用五归，得二是两个。方五却用七因得斜十四步。故曰方五斜七。若依方五求斜，则斜有馀。若依斜七求方，则方不足。
假如方田隅斜一十四步。问：积步并方面各若干。答曰：积一百步，
〈实只有九十八步。〉方面十步。
〈实只有九步九分。〉斜演段图
张丘建法：置斜十四步，用七归得二，乃是二个。斜七却用五，因得方面十步，是两个。方五就以方十步自乘，得积一百步。有斜必有方，只以方求积，无差。
杨辉方求斜法：置方步自乘，得一百步，是一个小方积。倍之，得二百步，是两小方积。用开平方法除之，得斜十四步。却有不尽，馀实四步。斜求积法：置斜步如大方面自乘，得积一百九十六步，如两个斜方积。折半，得九十八步，如一个斜方积。却比前方积步中少二步。斜求方面，斜自乘折半得积九十八步，如
个斜方积。以开平方法除之，得方面九步九分。
方斜演段图
此论大方一个，方面一十四步，内容斜方一个。
〈即小方也。〉斜亦一十四步，自乘得一百九十六步。是两个斜方积。内小方斜积一个，九十八步。外四角用句股求弦法得弦九步九分，即如小方面自乘，亦得九十
八步。将四角总合，亦为一小方。每角正方二十一步。斜方七步，折半得三步五分。并得二十四步五分。以四角因之，得九十八步，亦为一斜方积也。此合大方
方斜黑白演段图
求积，毫忽无差。
〈杨辉用开平求方，求斜理明以合方积。张建丘用方五斜七，难以合数。〉 又论大方面十四步。内容小方斜十四，自乘得一百九十六步，是两个斜方积。乃黑白四段，以上下斜白配合为一方。又以左右斜黑配合，为一方。故
周三径一图
用折半得一个斜方积九十八步。古法：周围三尺，圆径一尺。假如圆径三十二尺，以周三因之，得九十六尺，而四尺闲矣。
徽术：周百尺、径三十一尺四寸。
密术：周二十二尺、径七尺。
智术：圆径三十二尺、周有百尺。
术曰：圆径即方径。若求圆积四分之三，不必立法。惟以圆求方，其法不一，姑录于此。盖圆径一则，周不止于三。所谓周三径一者，举其大概耳。
方五斜七者，言其大略耳。内方五尺，外方七尺有奇。
方五斜七图
方面求弦法曰：以方面自乘，倍之为实。以开平方法除之，得七步。○七一故曰斜七有奇。以此自乘折半得积二十五步。若以七步自乘折半得积二十四步。半校之得积，不全矣。
假如圆田径六步，周十八步。问：积若干。
答曰：二十七步。
圆演段图
径六步是一个六，周十八步是三个六。故曰周三径一也。其方积三十六步是四个九，其圆积二十七步是三个九。其圆外剩九，是一个九。故曰圆居方四分之三也。
〈圆三象天，方四象地。〉径求积法：置径六步如方面自乘，得方积三十六步。用三因得一百零八步，是三个方积，合四个圆积。故用四归之，得一个圆积二十七步。
周求积法：置周十八步如大方面自乘得三百二十四步，是九个小方积。每积三十六步，正合十二个圆田积。故用十二除之，得一个圆积二十七步。
周径求积法：置径六步是一个六，与周十八是三个六，相乘得数，即如前径自乘，以三因数同。故仍用四归得积二十七步。
半周求积法：置半周九步自乘，得八十一步，如三个圆田积。故用三归之，得圆积亦二十七步。
半径求积法：置半径三步自乘，得九步如方田积四分之一，即圆三分之一，故用三因之得圆积。
半周半径求积法：置半周九步，以半径三步相乘，得圆积二十七步，如方积四分之三，正合圆田之积。若问圆田外四角剩积法：置一角长阔各三步，折半得一步半。自乘得一角，剩二步二分五釐。以四因得四角，剩积共九步也。
〈已上求积六法皆合周三径一。已后二术惧有不尽非良法也。〉徽术周求径：以五十因周，再以一百五十七除之，得径。径求周：以一百五十七乘径，用五十归之，得周。密术周求径：以七因周，再以二十一除之，得径。径求周：以二十二乘径，用七归之，得周。
虚隅图说
方圆论说方圆论说
世之习算者咸以方五、斜七、围三、径一为准，殊不知方五则斜七有奇，径一则围三有奇。故古人立法有句三、股四、弦五之论，而不能使方斜为一定之法。有割圆矢弦之论，而不能使方圆为一定之法。试以句股法求之，句股各自乘，并为弦实。平方开之，此施之于长，直方则可若一整方。句五股五各自乘，并得五十。平方开之，得七而又多一算矣。割圆之法求矢、求弦，固是至于求弧背，则恐未尽也。何以知之。试以平圆径十寸者例之。中心割开矢阔五寸，自乘得二十五寸。以径除之，得二寸五分为半背弦差。倍之得五寸。以加弦得一十五寸。与围三径一之论正合。然径一则围三有奇，奇数则不能尽矣。以是知弧背之说犹未尽也，不特是也。凡平圆一十二，立圆三十六，皆不过取其大较耳。或曰密率径七，则围二十二。徽率径五十则围一百五十七。何不取二术酌之，以立一定之法。曰：二术以圆为方，以方为圆，非不可。但其还原与原数不合，数多则散漫难收。故算历者止用径一、围三，亦势之不得已也。曰历家以径一、围三、立法，则其数似犹未精然。郭守敬之历至今行之无弊，何也。曰历家以万分为度，秒以下皆不录。纵有小差不出于一度之中，况所谓黄赤道、弧背度乃测验而得止，以径一、围三定其平差，立差耳。虽然，行之日久，安保其不差也。窃尝思之，天地之道阴阳而已。方圆，天地也。方象法，地静而有质，故可以象数求之。圆象法，天动而无形，故不可以象数求之。方体本静，而中斜者乃动而生阳者也。圆体本动，而中心之径乃静而根阴者也。天外阳而内阴，地外阴而内阳。阴阳交错而万物化生。其机正合于畸零不齐之处，上智不能测巧历，不能尽者也。向使天地之道，俱可以限量求之，则化机有尽而不能生万物矣。余因论方圆之法而并著其理如此。
又述直圭、梯斜、句股、弧矢等形图于左。
今有直田长一十二步，阔九步。问：田积并斜弦各若干。
答曰：积一百零八步，该斜弦一十五步。
直演段图
求积法曰：置长阔相乘得一百零八步。若问斜者，如句股求弦。以长自乘，又以阔自乘，并二数得二百二十五步为实。以开平方法除之，得弦十五步。若以斜问积置斜十五步自
乘，折半，得一百一十二步。半却比直积多四步。半其多者何也。是长多阔三步。自乘折半得四步半也。假如斜若干，只云广纵相和若干。问积。以斜自乘，另以相和自乘，二数相减，馀折半得积。
假如有广若干，只云纵斜相差若干。问积。以广自乘，另以相差自乘，二数相减，馀折半为实。以相差为法除之，得纵。以广乘之，得积。
纵斜相和者，仿此。广斜相和、相差，及广纵相差，与前广纵相和者俱同。
假如今有圭形田广八步，纵一十二步。问：该田积若干。
答曰：积四十八步。
法曰：置广纵相乘折半得积四十八步。合问。
句股相乘折半图
半纵乘广图半纵乘广图
句股演段图
半句乘股图
长阔相乘折半图
半广乘纵图
斜形折广图
梯形演段图
并上下广乘半长图
梯形折广图
并上下广折半乘长图
并上下广乘长折半图
句股演段图半纵乘广图
句股演段图
半句乘股图
长阔相乘折半图
半广乘纵图
斜形折广图
梯形演段图
并上下广乘半长图
梯形折广图
并上下广折半乘长图
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半句乘股图半纵乘广图
句股演段图
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长阔相乘折半图半纵乘广图
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并上下广乘长折半图
半广乘纵图半纵乘广图
句股演段图
半句乘股图
长阔相乘折半图
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斜形折广图
梯形演段图
并上下广乘半长图
梯形折广图
并上下广折半乘长图
并上下广乘长折半图
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句股演段图
半句乘股图
长阔相乘折半图
半广乘纵图
斜形折广图
梯形演段图
并上下广乘半长图
梯形折广图
并上下广折半乘长图
并上下广乘长折半图
斜形折广图半纵乘广图
句股演段图
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梯形折广图
并上下广折半乘长图
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梯形演段图半纵乘广图
句股演段图
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长阔相乘折半图
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句股演段图
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梯形折广图半纵乘广图
句股演段图
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并上下广折半乘长图半纵乘广图
句股演段图
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长阔相乘折半图
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并上下广乘长折半图
并上下广乘长折半图半纵乘广图
句股演段图
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长阔相乘折半图
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梯形折广图
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并上下广乘长折半图
半纵乘广图
句股演段图
半句乘股图
长阔相乘折半图
半广乘纵图
斜形折广图
梯形演段图
并上下广乘半长图
梯形折广图
并上下广折半乘长图
并上下广乘长折半图
今有直田长一十四步，阔七步，计积九十八步。问：内容弧矢田一段，占积并二角。馀积各若干。
答曰：弧矢积七十三步半，二角积二十四步半。法曰：置长一十四步为弧弦，以阔七步为矢，相并得
直内容弧矢图
二十一步。折半得十步零五分。又以矢七步乘之，得弧矢占积七十三步五分。以减直积九十八步，馀二十四步五分，是二角馀积。
今有直田长二十步，阔十八步，计积三百六十步。内容六角田一段，每角面十步。问：六角占田积并馀积各若干。
答曰：六角积二百七十步，角外馀积九十步。
法曰：置中长二十步减去半面阔五步，馀长一十五步。以通阔一十八步乘之，得六角占积二百七十步。
直容六角图
另以角外之馀长九步，以馀阔五步折半得二步五分。乘之得一角。馀二十二步五分以四因之，得四角馀积九十步。并入六角，占积二百七十步。共合直田之总积也。
假如方田一段面方十七步，计积二百八十九步，内容八角田一段。每角面阔七步，问：八角占积并外馀
方容八角图
若干。
答曰：八角占积二百三十九步，角外馀积五十步。
法曰：方七步是上下斜角面。如斜求方，以五因七归得五。倍之得十步，是上下二段长。加中一段面七步，
共十七步。自乘得方面总积二百八十九步。另以一角长五步自乘，得二十五步。倍之得外馀积五十步。以减上积馀得八角。占积二百三十九步。合问。假如圆田径十四，计积一百四十七步，内容锭田占积并两腰，外馀积如榄形田。二段长十步，阔四步。问：各该积若干。
答曰：锭占积一百步，两腰外馀积四十八步。
法曰：圆径即锭长十四步，又如圆内方之斜也。以方五斜七之法置十四步，以七归五因得方十步。自乘
方内容锭图
得锭占积一百步。另置两腰外如榄田，长十步加半阔二步，共十二步。以阔四步乘得馀积四十八步。加入锭占积共合圆田。总多一步者是榄。长十步自乘得百步，内多一步。
旧法以锭长自乘、折半得九十八步。却少二步。其锭
长如方田斜求积，则百步中少二步，可用九八归除，即一百步。
一法：截上下有馀补两腰不足，作方十步自乘，得一百步。锭田还原以积，用开平方法除得十步。却以五归七因得斜长十四步也。
方圆环总图说
平方求积法曰：以方面十六步自乘得二百五十六步。平圆求积法曰：以外周四十八步自乘得二千三百零四步，再以十二除之，得全积一百九十二步。
方内容圆圆内减图为环图
四旁馀积六十四步，另以内周二十四步自乘得五百七十六步。再以十二除之，得内圆积四十八步。圆环求积法曰：以大圆积内减小圆积，馀一百四十四步，即是环积也。
又法以环径四步，以三因之，得一十二步。以减外周，
馀得三十六步为长。以径四步乘之，得环积一百四十四步。环田者如圆田中间有圆池也。若圆池不在中而偏者，只以圆田算之，得全积。却减去圆田积，馀为本田实积也。
法以外周自乘，又以内周自乘，二数相减馀数以十二除之，得环积。若以内周外周问径者，置外周减内周，馀数以六除之，得径。若以内周并径问外周者，置径以六因之，得数并入内周数，即是外周。若以外周并径问内周者，置径以六因之，得数减外周
方内容圆圆内容方图
数，馀为内周。
先论方内容圆。外方十四步自乘，计积一百九十六步。问：容圆并四旁庇积若干。
答曰：圆积一百四十七步，
四旁庇积四十九步。
法曰：置方径十四
〈即圆径。〉自乘，再以七五乘之，得圆积
也。若问四庇积，以二五乘方积
〈四庇居方四分之一〉是也。方积四分取三为圆积。故法用七五乘之，或用三因四归亦得圆积。
后论圆内容方。圆径
〈即方斜。〉十四步计积一百四十七步。问：容方并四旁幂积若干。
答曰：圆内容方每面十步计积一百步，四旁幂积四十七步。
右明方圆之理
方环者，谓如方田中央有方池。方环求积法曰：以外
平方环积之图
方自乘，得全积。另以内方自乘，得内积。以减全积馀得方环积。又法以外方并入内方，倍之为长。以径阔乘之，得方环积。
解曰：非言田也，皆言托物比兴，算家穷理尽性致知格物，以明方圆句股之理，至于天地高广乎。
带分母用约分法
今有直田，广二步二十分，步之九纵。九十七步四十九分，步之四十七。问：该积若干。
答曰：一亩。
法曰：置广二步，以分母二十乘之，得四十。加分子九共四十九。另以纵九十七步，以分母四十九乘之。加分子四十七，共四千八百。以乘纵四十九得二十三万五千二百为实。又以分母二十乘四十九得九百八十。为法除之，得二百四十步。以亩法除之，合问。今有圭田，广五步二分，步之一纵。八步三分，步之二。问：该积若干。
答曰：二十三步六分步之五。
法曰：置广五步，以分母二通之，加分子一共十一。另置纵八步，以分母三通之，加分子二，共二十六。与广十一相乘，得二百八十六，折半得一百四十三为实。以分母二分、三分相乘，得六分。为法除之得二十三步。馀实五以法命之，得六分之五。
今有圆田，径六步十三分，步之十二。周围二十步四十一分，步之三十二。问：该积若干。
答曰：三十六步。
法曰：径求积。置径六步，以分母十三通之，加分子十二共九十，自乘得八千一百。又以分母十三减分子十二馀一，以乘分子十二，并前共得八千一百一十二。以三因四归之，得六千零八十四为实。以分母十三自乘，得一百六十九，为法除之合问。若以周求积。置周二十步，以分母四十一通之，加分子三十二共八百五十二。自乘得七十二万五千九百零四。又以分母四十一减分子三十二馀九，以乘分子三十二得二百八十八。并入前数共七十二万六千一百九十二。以圆法十二除之，得六万零五百一十六为实。以分母四十一自乘，得一千六百八十一为法除之。合问。
今有环田，内周六十二步四分，步之三。外周一百一十三步二分，步之一。径十二步三分，步之二。问：该积若干。
答曰：四亩六分五釐四分步之一。法曰：并内外周共一百七十五步。以内周之三乘外周二分，得六分。另以外周之一乘内周四分，得四。并之得十。却以分母二分四分相乘，得八。为法除十得一步二分五釐。并前共得一百七十六步二分五釐。折半得八十八步一分二釐五毫为实。却以径十二步，分母三通之，加分子二共三十八，为法乘之得三千三百四十八步七分五釐。又以分母三除之，得一千一百一十六步二分五釐。以亩法除之得四亩六分五釐，不尽步下二分五釐，以法约之，得四分步之一。合问。
今有方田一丘，面方十二步四分，步之二。问：该积若干。
答曰：一百五十六步五分。
法曰：置十二步，以分母四通之得四十八步。加分子二共得五十步。自乘得二千五百步。另以分母四减分子二，馀二。以乘分子二得四。并前积共得二千五百零四步为实。另以分母四自乘，得一十六。为法除之。
〈此合开方不尽之法。已上皆双分母子法。〉今有直田长一十五步，阔三步五分，步之四。问：该积若干。
答曰：五十七步。
法曰：置阔三步，以分母五通之，得十五。加分子四共十九。另置长十五步，以分母五通之，得七十五。将此二数相乘，得一千四百二十五为实。另以分母五自乘得二十五为法除之。合问。
〈此是单分母子法。〉休宁县科则
〈附辨亩法论〉休宁县于万历九年清丈有粮里，编号二百一十一里。带管无粮里三十四里半。
〈以千字文编号，自在城东北隅天字一号。起至三十三都八图建字号止。〉田亩起科等则
〈每斗加耗七合，地山同。〉田每一亩，古科米带耗共五升三合五勺。麦带耗共二升一合四勺。
地每一亩古科米带耗共三升二合一勺。麦带耗共二升一合四勺。新制米带耗共三升八合七勺。一抄三撮麦带耗共一升九合八勺七抄。
比古米增而麦减，何也。盖谓古有官庄产土租米重而租麦轻。又紫阳书院田府县学田有米无麦。今变总归于一，则丈出亩步摊派租米租麦各亩步不同等，而田山塘等起科不废。古法惟地扣合米麦总数之故云。
山按原额计亩，
〈新丈不计步数。〉每亩米带耗共一升零七勺，麦数同。
塘池潭堨
〈同田则〉 园圃洲堤
〈同地则〉坟茔境迹
〈多作上地〉开垦陇野
〈以作荒地三百为亩入山境〉亩法论
愚按前贤亩法，率二百四十步为一亩。万历九年遵诏清之休邑总书，擅变亩法。田分四等。上则一百九十步，中则二百二十步，下则二百六十步，下下则三百步。地亦四等。上则二百步，中则二百五十步，下则三百五十步，下下则五百步。在城基地有等，正之名一等正三十步，二等正四十步，三等正五十步，四等正六十步。与前贤二百四十步一亩大相缪戾，借曰土地有肥硗，徵役有轻重，亦宜就土田高下别米麦之多寡。不得轻变亩法第。总书开其弊窦，举邑业已遵行，何容置喙。姑记于此以见作聪明乱旧章之自云。
古今折步
原用古弓每步五尺，今以钞弓校之，只有四尺八寸。问：古弓百步该钞弓若干。
答曰：九十二步一分六釐。
法曰：置四尺八寸倍之，得九分六釐。自乘得九分二釐一毫六丝，乃古弓一步今折得钞弓数也。自此升上合问。若钞弓步数每百步用八十五步，加之以合原古弓步之数。
其方直田形截积具载少广章中。
