草根荐文|立足理解数学，促进数学理解（郑良）

郑良 安徽省灵璧县第一中学

编者按：近期“数学理解”成为了上海数学教研的热门话题，相信郑良老师这篇《立足理解数学　促进数学理解》会给大家带来些启发。

注：本文经郑老师授权在本平台发布

数学教学要立足于理解数学中的知识、思想方法、技能等内容，教师理解学生，促进学生独立思考，在关键点上予以指导、引申，促进学生对数学的深刻理解（理解基础数学领域的深度、宽度和完整度），为学生的长久发展谋效益。

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问题提出

王弟成老师以试题为载体，基于学生、源于学生，通过启发，让其自己思考，自己发现，自己反思，形成自己的理解、自己的思维方式，实现从学会到会学。强调“数学教学的目的是让学生掌握数学知识的同时学会数学地思考，在思考中提升其思维能力，培养学生的认识力”“教学的过程并不是把知识传递给学生的过程，而是让某一知识在学生心中成长的过程”案例中学生问题与（函数）最值有关，学生所反映出来的对函数最值概念的理解水平令人痛心。下面笔者结合自己的教学，谈谈对问题的思考。

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案例分析

例1在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=1，2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是______。

原题解答中，对方程c^2-bc+b^2-1=0，以c、b为主元，利用判别式结合实际意义，分别得到c、b的范围，利用同向不等式的可加性，结合三角形“两边之和大于第三边”确定周长的取值范围。

学生不应只对判别式法（知识、技能）有困惑，还应质疑：

（1）同向不等式能够直接相加吗？（此性质学生还没有学习）

（2）由b+c>a就能说明b+c可以取到大于a的所有实数吗？

（3）最大值能取到吗？

当然这些问题的解决并不难，但学生的漠视体现了学生的感性认识有余，理性认识不足。

漠视问题（1）说明学生学习没有推证的严谨习惯，多是只看书不动笔；

漠视问题（2）说明学生没有注意到b与c的联系（相互关联制约是解答出错的原因），没有有界性和极限思想意识；

漠视问题（3）说明学生对函数最值概念理解不到位，没有形成正确的技能与意识，与“掐头去尾烧中间”的教与学的方式相关。

学生学习时，往往沿着别人的思路走，“弄懂”教材的解读、习题的解答思路等就以为对知识深入理解了，缺乏自己的想法、思维、理解。有如认知能力较低，思维水平不高等自身（成长过程）方面的原因；更与教师的教学方式息息相关，如教师的数学素养不高，只能在知识方法的浅层打转，对学生不够信任（未能真正理解学生），始终在学生思维的低端徘徊，缺乏对学生学法的有效指导，教师迫于（考试进度、学校评比、社会舆论）压力，课堂教学往往大容量、快节奏，压缩了学生的思维空间，催生了学生的学习惰性等。

函数的最值是中学数学的重要概念。从最大值定义知道，最大值包括两个要素：其一，最大值是函数值；其二，最大值是所有函数值中的最大者。凡求函数最值都要确保符合函数最值定义。因此，求最大值的基本途径有：利用函数性质（单调性、奇偶性等）直接寻求函数的最大值；先找出函数的某个值，再证明该值是所有函数值中的最大者，以上体现了最值与函数值之间的特殊与一般的关系。

通过审题摄入信息，将吸纳的信息与已有认知进行比对，产生反应，输出解决方案。在此过程中，学生应对可能用到的知识、思想方法、技能有清楚的认识与理解，从而优化结构，促进落实。考虑到2cosC与c、2b结构不同，故尝试将其统一。

数形结合思想充分利用数与形的特点，扬长补短，充分发挥形的直观和数的精准。从图1中能确定b+c的下（确）界，可以猜出其最大值（上确界），无论如何，图形反映出来的信息不能代替推理证明，我们只需将其用精准的数学符号语言来表征即可。因为b、c相互联系、制约，如何避免它们各自为政产生的干扰、冲突，实现变化中的统一呢？通过减元策略，将二者之间的区别与联系用一个未知数来表示，从而实现解题目标，换元时要注意新元的取值范围（被消去的元的范围要在保留的元中体现）。

学生为什么没想到用角度作为自变量？说明学生对正弦定理、余弦定理的基本化归方向存在认识上的不足（部分教师未必清楚）。若用正弦定理化边为角，转化为三角函数（方程）问题，再利用两角和与差的正弦（余弦、正切）公式进行运算，优点是角的范围较好控制，需要学生能灵活运用加法定理中的相关公式；若用余弦定理化角为边，转化为边的函数（方程）问题，再利用因式分解等手段探求边之间的内在联系，往往涉及高次方程的因式分解，对学生变形能力要求较高。

片断1

教师：这个等式能看成方程吗？比如：将c看成未知数，b看成已知量可以吗？

教师对转换视角看问题习以为常，但思维能力较弱的学生会觉得很不习惯甚至难以理解。学生的停顿表明学生可能并未真正悟透，教师不应一滑而过。因此教师应在此驻足长留，作实铺垫，给学生以充分的缓冲和积累，通过回忆所学，心理过程的激荡，促进观念的改变和思维能力的提升。可作如下预设：

教师：在等式c^2-bc+b^2-1=0中，b、c地位如何？方便我们求解吗？如何调整？

学生：b、c地位相同。因为无序导致求解不便，考虑到对称性，我们可以以其中一个为主，进行操作。

教师：很好。我们把这种处理方法叫做主元法，它是解决多元对称问题的重要方法。解题时确认其对称性是关键，等式中b、c位置互换，式子不变，不妨设b≥c进行排序。

片断2

教师：现在若能将bc消去，或是将其转化为b+c也可以，想一想bc与b+c之间能有怎样的不等关系？试一试？

在教师的引导下，学生发现了b+c与bc的关系，进而构建关于目标b+c的不等式。学生解题缺乏目标意识这是普遍现象，只能从已知到未知，不能自觉从未知目标出发，寻找解决的途径。说明学生还不知如何解题，无法通过仔细审题、理性分析从而确定解题的途径，只能更多地靠个人直觉进行尝试。对解题的逻辑关系、思维过程理解不到位，看似正常现象，因为“常用逻辑用语”安排在《数学》。由此可以看出端倪，教师的“包办”压缩了学生的思维空间，限制了学生的视界。教师不能为问题的解决给予学生过多、过强的提示，而应从学生的能力发展入手，逐步渗透，使学生知其然知其所以然，内化为自己解决问题的能力。

片断3

学生：解法2是将b+c转化为角C的三角函数，再求出其最大值，不会出问题。解法3用不等式关系求得b+c的最大值，也不会出问题。

教师：很好，如果改进解法1，我们应怎样思考？

学生凭什么说解法2、解法3求最大值不会出问题呢？难道仅仅是答案正确? 没有给出任何依据。学生对有界性概念淡漠，没有质疑精神，直观感觉大于逻辑思维。构建关于b的方程利用判别式法求解是充要条件还是必要条件？其背景是什么？从代数角度可看成是方程组有解，几何角度可看成是线段与椭圆的一部分有公共点（直线与圆的位置关系的正向迁移）。从方程解的角度，应该求出每个t（尤其是最值时）对应的b、c，当b+c=2，解得b=c=1，即△ABC为等边三角形。根据题设，充分利用其结构特征，视学生情况引导学生寻求其它解法，追问算理与算法。让学生在宏观上理清思路，在微观上推敲细节。

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教学思考

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“理解数学”是当好数学教师的前提

“突出学生的主体地位”“注重对基本活动过程中经验积累”等课改理念被广大一线教师所接受。学生在课堂上的探究交流活动日益泛滥，甚至成为评定高效课堂的唯一标准，于是学生成了教师摆弄的机器、操控的演员，学生辛苦，教师心累。在数学教师的知识结构中，第一要素是“数学素养”，其主要内涵是：了解数学知识的背景，准确把握数学概念、定理、法则、公式等的逻辑意义，深刻领悟内容所反映的思想方法、具有挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源的能力和技术，善于区分核心知识和非核心知识等。教学首先要解决“教得对不对”的问题，再解决“教得好不好”的问题。以其昏昏，岂能使人昭昭。数学教师的数学理解水平，直接决定了学生的数学理解水平，影响到学生的数学能力的发展。离开了专业的思考，任何一种教学方法或教学模式的应用都不可能真正获得成功。

理解数学是教好数学的前提，理解学生确定教学的起点与着眼点、是教好数学的根本，理解教学是在理解数学与理解学生基础上确定教学方式方法，是教好数学的手段。数学理解可分两类：工具性（Instrumental）理解和关系性符号（Relational）理解。工具性理解是一种语义性理解——符号A所指代的事物是什么，或者一种程序性理解——一个规则R所指定的每一个步骤是什么及如何操作。关系性理解则还需加上对符号意义和替代物本身结构上的认识获得符号指代物意义的途径以及规则本身有效性的逻辑依据。即工具性理解就是知道如何求答，关系性理解则是除了知道求答案外还要知道为什么这样做。中学一线教师多数停留在（甚至未达到）工具性理解水平，从而导致学生数学理解困难，提高师生数学理解水平亟待解决。

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“高立意，起点低”落实数学教学的育人功能

教育的根本目标是育人。从数学学科教学的角度，就是要发展学生的认知力。只有充分地挖掘数学知识蕴含的价值观资源，并在教学中将知识教学与价值观影响融为一体，才能真正体现“数学育人”。目前一些课堂在兼顾高考的同时注重课堂教学的品味提升，如渗透数学文化等，提高了课堂教学的思想性。目前存在着看轻学生能力的倾向，无法激起学生的求知欲，对于少数基础不同的学生，可采用单独的补偿教学。

“学之道在于悟，教之道在于度”学生的独立思考是学生进行学习的必备条件。南京师大附中陶维林老师说过：“现在数学老师教学最大问题是什么？就是忘记了谁在学习。饭要让学生亲自吃，觉要让学生亲自睡，学习要让学生亲自学，老师绝不能代替。”所以，学习是学习者面对自己生命的艺术，教师的责任就是陪伴学生走向自我负责的道路。陌生阻止你认识陌生的事物，熟悉妨碍你理解熟悉的事物（霍尔曼斯塔尔语）。给学生一个机会，他会还你无限惊喜。

本文参加了《中学数学教学参考》上旬8期好文评选，若您觉得阅读后有所启发，请点击“阅读原文”为郑老师投上一票！