电子束剂量计算技术

假舆马者，非利足也，而致千里

假舟楫者，非能水也，而绝江河

君子生非异也，善假于物也

——《荀子·劝学》

说明：本文来源于一篇2009年完成的关于放射治疗计划系统开发的研究生论文。

供刚入行的放疗同道参考，希望对您有所帮助。

本文内容：回顾了电子束剂量计算的基本方法。

电子束剂量计算方法发展简史

在过去的五十多年中，电子束已经成为一种重要的放射治疗模式^[115,116]。在一个适当的深度，电子束的剂量分布具有很好的一致性，当超过这个深度，剂量就会迅速的下降。

在电子束治疗时，高剂量区分布在体表和浅部的肿瘤，而下面的健康组织接受了较低的剂量。因为电子束具有如上的特点，在治疗体表肿瘤和体内浅部（患者体表下6cm）肿瘤方面，电子束具有X射线不具备的优越性。

现在的放射治疗计划系统一般都包含电子束剂量计算的功能，但是电子束的剂量计算却不像光子剂量计算发展的那么完善，电子剂量计算的误差最大达到40%^[115]。电子剂量算法大体上可以分为如下三类^[115,116]：

1. 宽射束方法（broad beam methods）

2. 笔形束方法（pencil beam methods）

3. 基于Monte Carlo的方法。

1. 宽射束方法

有效深度方法是一种宽射束方法，也被称作等效厚度系数法（CET）^[117]。在这个方法中，剂量计算矩阵中的每一个点需要根据从表面到计算点的射线路径给定一个放射学深度d’, 计算点的放射学深度由射线经过物质的密度ρ和厚度t 累积得到，计算方法如下:

计算点的剂量值D(d)的计算是基于三维水箱的测量值，并根据有效深度和平方反比定律修正得到，计算方法如下：

其中是D_w(d’)水箱中深度的剂量

有效深度方法并没有考虑到在不同介质间电子的多重散射问题。因为在电子束放射治疗中，多重散射是一个主要的物理过程，所以这种方法的误差较大^[118]。这种方法也不能预知骨头和水分界面部分的“hot”和”cold” 点问题^[119]。

2. 笔形束方法

一个笔形束是指一束电子束的一个小部分区域。宽射束产生的剂量可以通过每个单元笔形束的贡献累积得到。

目前，在商业的治疗计划系统中使用的剂量计算算法基本上都是基于笔形束方法。主要有两种笔形束模型^[120-124]：

1. 高斯模型^[120-122]：这个模型认为每个笔形束有一个高斯离轴分布（Gaussian off-axis profile）。

2. 推广高斯模型（几个高斯分布的叠加）^[123-124]：这个模型考虑了角度散射和范围歧离（range straggling）。

高斯模型忽略了重要的大角度散射过程，认为电子只进行多重小角度偏离，实际上的笔形束剂量曲线与高斯分布有较大的差别^[125]。

理论上任何一个电子传输模型都能用于计算有角度的散射。有角度散射计算结果的精确性取决于所使用模型的假设和限制。

目前，最通用的模型是Fermi-Eyges（FE）多重库仑电子散射理论^[119,126]。FE模型的主要局限性是使用了小角度的近似(tanθ=θ)来获得传输方程的解析解。

在笔形束方法中，每个笔形束假设由单能具有角度偏离（mean angle）并且在角度上具有关于平均角度分布的电子组成。每一个笔形束剂量分布的求和就构成了物质中的剂量分布，计算公式如下^[116]：

其中W(x’,y’,0)是射束在点(x’,y’,0)处的相对长度，d(x,y,z:x’,y’)是中心轴通过点(x_i,y_i,z)的笔形束的剂量贡献。

在上面的方程中，假设射束是准直器平面上平行笔形束的集合。使用误差项对每个笔形束求和来计算宽射束的剂量分布，一个矩形照射野的剂量计算方程如下（考虑2D的密度修正，2D的密度修正是指在垂直于CT切片方向的密度是不变的）^[121]：

方程的最后一项是平方反比定律修正项，这是个经验项，它考虑了电子阻止率和建成。这个算法在临床使用的时候会有相当的局限性，这些局限性会导致对于不同患者和不同射束剂量计算的不精确性，主要表现如下^[126]：

1. 算法是2D的，在感兴趣区域（ROI）的y方向上认为是不变的。

2. 算法认为ROI区域是由垂直于射束的无限个薄片组成，有学者已经证明，这种近似能够引起10％－20％的误差^[127]。

3. 电子的射程是有限的，同时电子射程的差别降低了在大深度上笔形束的横向分布，这一点在FE理论中没有预知^[134]。一些学者已经对这个限制进行了一些修正^{[130,135,136]}。

3D笔形束方法是对2D笔形束方法的一个合理的扩展^[131-133]。3D笔形束方法的输入数据和2D笔形束方法的相同，3D笔形束进行了3D的密度修正，计算公式如下^[133]：

3D方法在很大程度上提高了剂量计算的精度，但是这两种方法都没有对半影区域的剂量计算进行很好的修正，主要原因如下：

1. 忽略大角度散射。

2. 没有对表面的角度分布作很好的估计。

因为3D笔形束方法考虑了y方向的密度修正，因此在小的不均匀物质（如骨头）和空腔等方面的剂量计算表现良好。但是其总的误差还是较大，因此在基本理论和算法执行上需要进一步的开发。

笔形束重新定义方法（pencil beam redefinition algorithm）克服了标准笔形束模型的无限薄片近似问题^[134-136]。

这个方法中，在电子束从一个深度传播到另一个深度的时候，使用笔形束在每个深度上的横向分布把电子重新分成邻近笔形束。通过引入每个深度的多重能量和角度分布，电子笔形束的参数根据组织的深度被重新定义。重新定义概念首先由Hogstrom等人提出^[121]。

3. 蒙特卡罗方法

蒙特卡罗方法的基本思想是对随机变量进行采样模拟物理过程，这类方法非常适合于模拟粒子的传输问题。完全的蒙特卡罗模型是放射输运中发生的物理过程的一个直接模拟。

因此，如果放射源和模体能够被精确的建摸，这种方法完全有能力给出统计误差（物理过程的数学表示）所允许的精确性^[137-140]。在放射输运模拟中，输入的数据包括入射粒子的相空间（粒子的方向和能量）以及吸收介质的材料和组成。

目前，在医学物理领域主要有两个蒙特卡罗代码被使用, 即Electron Gamma Shower version 4(EGS4)^[141,142]和Electron TRANsport(ETRAN)^[143,144]。

蒙特卡罗方法能够模拟通过任意介质和任意几何形状物质的光子和电子的传输问题。Electron TRANsport(ETRAN) 方法是由美国国家标准局在30多年前开发的。

在当前的版本中，ETRAN能够精确的模拟能量在10-20kev（低原子序数物质）和1GeV之间的电子输运问题。ETRAN方法使用了Goundsmit-Saunderson（GS）多重散射理论。

GS理论的优于Moliere理论^[145]（EGS4使用了这个理论）的原因在于：GS理论不是从小角度近似导出的，它对于任何角度都是严格的，它能使用任何希望的单次散射截面进行计算^[116]。

EGS4方法起源于斯坦福直线加速器中心的高能物理研究所，目前在医学物理领域最通用的版本是EGS4。

蒙特卡罗方法的唯一限制是时间的问题。

为提高蒙特卡罗方法的运行效率，学者们提出了多种简化蒙特卡罗方法，比如：The Macro Monte Carlo code (MMC) ^[146]，super蒙特卡罗模型（super-Monte Carlo model，SMC）^[147]和基于体素的蒙特卡罗方法（voxel-based-Monte Carlo method，VMC）^[148]。

这些简化方法的特点是，在没有太多精度损失的情况下，大大地提高了完全蒙特卡罗方法的运行效率。

尽管如此，这些简化蒙特卡罗方法的计算时间还都在30分钟以上，因此在临床应用上还有相当的局限性。