数学证明‖余弦定理的证明

余弦定理的证明 

余弦定理是三角形中三个内角和定理的推论，其现代形式如下：任意三角形三边分别为a、b、c，三角分别为A、B、C，则有

a²=b²+c²-2bccosA。 已知在三角形ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，其中R为三角形ABC外接圆的半径。 

证明余弦定理的方法有很多种，以下是其中一种比较简单的证明方法：

 因为a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

所以a²=(2RsinA)²，b²=(2RsinB)²，c²=(2RsinC)²。

 又因为(2RsinA)²=(2R)²(sinA)²，(2RsinB)²=(2R)²(sinB)²，(2RsinC)²=(2R)²(sinC)²。 

而由正弦定理可知，sinA、sinB、sinC分别是三个内角的大小，

因此有： a²=(2R)²(sinA)²，b²=(2R)²(sinB)²，c²=(2R)²(sinC)²。 

化简得到a²=4R²(1-cos2A)，b²=4R²(1-cos2B)，c²=4R²(1-cos2C)。

 而由余弦定理可知，cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)，cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)，cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)。 

因此有： 4R²(1-cos2A)=4R²(1-cosA)， 4R²(1-cos2B)=4R²(1-cosB)， 4R²(1-cos2C)=4R²(1-cosC)。 

将上述三个等式相加得到： 4R²(1-cos2A)+4R²(1-cosA)=4R²(1-cosB)+4R²(1-cosB)=4R²(1-cosC)+4R²(1-cosC)。

 化简得到： 4R²=4R²【(1-cosA)+(1-cosB)+(1-cosC)】。 

而由正弦定理可知，三个内角和为180度，即A+B+C=π。

因此有： 4R²=4R²(3-cosA-cosB-cosC)。

 化简得到： a²+b²+c²=a²+b²+c²+2bc(cosA+cosB+cosC)。

 化简得到： a²=b²+c²-2bc*(cosA+cosB+cosC)。 

因此余弦定理得证。