初一上学期，绝对值深入剖析，绝对值的几何意义与常用思想方法

绝对值的知识点应该是初一所学内容比较难的一节，涉及到了三种初中主要的思想方法：分类讨论思想、整体思想和数形结合思想。

一、分类讨论思想

在化简绝对值时，需要对绝对值里面式子的正负性来去绝对值。当绝对值里面的式子是非负数时，取本身；当绝对值里面的式子是非正数时，取相反数。

例题1：已知a>0，b<0，c<0，且|b|>|c|，化简|c-a|+|c-b|+|b-a|的值是多少？

【分析】化简求值题，需要去绝对值，去绝对值之前需要清楚的知道绝对值里面式子的正负性。已知c<0，a>0，可以得到c-a＜0；已知b<0，c<0，且|b|>|c|，可以得到c-b＞0；已知a>0，b<0，可以得到b-a＜0。

解：由题意得：c-a＜0、c-b＞0、b-a＜0

原式=-（c-a）+（c-b）-（b-a）=-c+a+c-b-b+a=2a-2b

二、整体思想

绝对值化简时，有时需要把被化简的式子看作一个整体。

例题2：若|a+1|=2，则a的值是多少？

【分析】已知|a+1|=2，将绝对值里面的式子a+1看作一个整体，先考虑谁的绝对值是2，可以知道±2的绝对值都等于2，也就是说a+1这个整体等于±2。

解：由题意得：a+1=2或a+1=-2

解得：a=1或-3

三、数学结合思想

绝对值的几何意义：数轴上，表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。如|a|可以表示数a所表示的点与原点的距离。为了更直观的看出，我们可以把|a|看作|a-0|，这样就能很明显地看出表示数a的点与原点0的距离。

那么，|a-1|表示的几何意义是什么呢？应该看成是表示数a的点与1的距离。那么，|a+1|表示的几何意义又是什么呢？我们先要变下形，把|a+1|变成|a-（-1）|，这样我们就可以直观的看出：|a-（-1）|表示的是数a与-1之间的距离，所以|a+1|表示的就是数a与-1之间的距离。

同理，你能说出|x-a|和|x+a|的几何意义吗？

例题3：求|x-1|+|x-2|的最小值

分析：|x-1|表示数x的点与数1之间的距离；|x-2|表示数x的点与数2之间的距离；那么|x-1|+|x-2|表示的为数x的点到1和2的距离之和。我们不妨在数轴上，设点A、B、P三点对应的数分别为1、2和x。

当1≤x≤2，即点P在线段AB上时，此时|x-1|+|x-2|=PA+PB=AB=|1-2|=1

当x＜1，即点P在点A左侧时，此时|x-1|+|x-2|=PA+PB=PA+PA+AB=2PA+AB＞AB

当x＞2，即点P在点B右侧时，此时|x-1|+|x-2|=PA+PB=PB+AB+PB=2PB+AB＞AB

综上所述：当1≤x≤2时，|x-1|+|x-2|最小，最小值就是数1与数2之间的距离：|1-2|=1

思考题：

1.若x表示一个有理数，求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值；

2.若x表示一个有理数，求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值；

3.若x表示一个有理数，求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值；

4.若x表示一个有理数，求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+…+|x-2014|+|x-2015|的最小值