七年级数学，绝对值难点题型，两个绝对值和的最值问题规律

最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。我们通过一道例题，得到两个绝对值和的最值问题规律。

例题1：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离为AB=|a-b|．反之，可以理解式子|x-3|的几何意义是数轴上表示实数x与实数3两点之间的距离．则当|x+2|+|x-5|有最小值时，x的取值范围是（ ）

方法一：代数法（借助零点分类讨论）

解：当-2≤x≤5时，|x+2|+|x-5|有最小值，最小值是7；

当x＞5时，x+2+x-5=2x-3＞7，

当-2≤x≤5时，x+2+5-x=7，

当x＜-2时，-2-x+5-x=3-2x＞7，

故当-2≤x≤5时，|x+2|+|x-5|有最小值，最小值是7。

方法二：（根据绝对值的几何意义）

|x+2|+|x-5|可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和。结合数轴，当-2≤x≤5时，|x+2|+|x-5|有最小值，最小值是7。

例题2：同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|5－（－2）|＝ _______．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7这样的负整数是_____________．（3）由以上探索猜想对于任何有理数，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由．

解：（1）|5-（-3）|=|5+3|=8，故答案为：8；

（2）当x＞2时，|x+5|+|x-2|=x+5+x-2=7，解得，x=2与x＞2矛盾，故此种情况不存在，

当-5≤x≤2时，|x+5|+|x-2|=x+5+2-x=7，

故-5≤x≤2时，使得|x+5|+|x-2|=7，故使得|x+5|+|x-2|=7的整数是-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2，

当x＜-5时，|x+5|+|x-2|=-x-5+2-x=-2x+3=7，得x=-5与x＜-5矛盾，

故此种情况不存在，故答案为：-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2；

（3）|x-3|+|x-6|有最小值，最小值是3，

理由：当x＞6时，|x-3|+|x-6|=x-3+x-6=2x-9＞3，

当3≤x≤6时，|x-3|+|x-6|=x-3+6-x=3，

当x＜3时，|x-3|+|x-6|=3-x+6-x=9-2x＞3，

故|x-3|+|x-6|有最小值，最小值是3．

结论：当a≤x≤b时，|x-a|+|x-b|有最小值，最小值是|a-b|.