七年级数学，平行线拐点模型之铅笔模型，结论及证明过程。已知：AB∥CD ，求证：∠B+∠D+∠BED=360°。

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方法一：过拐点作平行线

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证明：过点E作EF∥AB

∵ AB∥EF，∴∠ABE+∠BEF=180°

∵ AB∥EF，AB∥CD，∴ EF∥CD

∴∠DEF+∠D=180°，∴∠B+∠D+∠BED=360°

反过来：证明：过点E作EF∥AB

∵ AB∥EF（已知），∴∠ABE+∠BEF=180°

∵∠B+∠D+∠BED=360°，∴∠DEF+∠D=180°

∴ EF∥CD，∴ AB∥CD

方法二：三角形内角和为180°

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证明：连接BD

∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°

∵ 在△BDE中，∠BDE+∠DBE+∠BED=180°

∴ ∠ABE+∠CDE+∠BED=∠BDE+∠DBE+∠BED+∠ABD+∠CDB=180°+180°=360°

反过来：证明：连接BD

∵ 在▲BDE中，∠BDE+∠DBE+∠BED=180°

∵ ∠ABE+∠CDE+∠BED=360°

即∠BDE+∠DBE+∠BED+∠ABD+∠CDB=360°

∴∠ABD+∠CDB=180°

∴AB∥CD

方法三：外角等于两个不相邻的内角和

证明：延长BE、CD相交于点F

∵ AB∥CD，∴∠B+∠F=180°

∵∠BED是△DEF的外角，∴∠BED=∠EDF+∠F

∴∠CDE+∠BED+∠B=∠CDE+∠EDF+∠B+∠F=360°

即：∠CDE+∠BED+∠B=360°

反过来，证明：延长BE、CD相交于点F

∵∠BED是▲DEF的外角，∴∠BED=∠EDF+∠F

∵∠CDE+∠BED+∠B=360°

即∠CDE+∠EDF+∠B+∠F=360°

∴∠B+∠F=180°，∴AB∥CD

例题：如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点．∠HAB+∠BCG=∠ABC．（1）求证：AD∥CE；

（2）如图2，作∠BCF=∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F，若α+β=50°，求∠B+∠F的度数；

（3）如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH=40°，试探究∠NBM的值，若不变求其值，若变化说明理由．

分析：（1）过点B作BP∥AD，利用平行线的性质可得∠ABP=∠HAB，再根据已知和角的和差关系可得∠CBP=∠BCG，从而可得BP∥CE，然后利用平行于同一条直线的两条直线平行，即可解答；

（2）根据角平分线的定义可得∠HAF=∠FAB=β，从而可得∠HAB=2β，再根据已知∠FCG=2∠FCB=2α，然后利用猪脚模型可得∠F=∠HAF+∠FCG，从而可得∠B+∠F=∠HAB+∠BCG+∠HAF+∠FCG=3（α+β），进行计算即可解答；

（3）利用角平分线的定义可得∠BCG=2∠BCR，∠ABC=2∠NBC，再利用平行线的性质可得∠BCR=∠MBC，从而可得∠BCG=2∠MBC，然后根据已知可得∠HAB=∠ABC-∠BCG=2∠NBC-2∠MBC=2∠NBM，进行计算即可解答．

（1）证明：过点B作BP∥AD，

∴∠ABP=∠HAB，

∵∠ABC=∠ABP+∠CBP，∠ABC=∠HAB+∠BCG，

∴∠CBP=∠BCG，

∴BP∥CE，

∴AD∥CE；

（2）解：∵AF平分∠HAB，

∴∠HAF=∠FAB=β，

∴∠HAB=2∠FAB=2β，

∵∠BCF=∠BCG=α，

∴∠FCG=2∠FCB=2α，

∵∠B=∠HAB+∠BCG，

∴∠F=∠HAF+∠FCG，

∵α+β=50°，

∴∠B+∠F=∠HAB+∠BCG+∠HAF+∠FCG=2β+α+β+2α=3α+3β=3（α+β）=150°，

∴∠B+∠F的度数为150°；

（3）解：∠NBM的值不变，理由：

∵CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，

∴∠BCG=2∠BCR，∠ABC=2∠NBC，

∵BM∥CR，

∴∠BCR=∠MBC，

∴∠BCG=2∠MBC，

∵∠HAB+∠BCG=∠ABC，∠BAH=40°，

∴∠HAB=∠ABC-∠BCG=2∠NBC-2∠MBC=2（∠NBC-∠MBC）=2∠NBM，

∴∠NBM=1/2∠HAB=20°，

∴∠NBM的值为20°