题目非常简单,如下所示,求角B。:
编者不常解题,自然没法秒解,想了一会儿才找到答案,并且列举了一些常规的思路。
从所提供的几种思路来看,第一种方法确实很直接,可以实现秒解,后面的思路黯然失色,基本上有“为赋新词强说愁”的感觉。
不过,权且拿来当作思维锻炼也未尝不可。
如图,过B
点做AC
的垂线,垂足为F
,连接DF
。
很明显,CD=2
。
因此,三角形CDF
是等腰三角形。
所以:
由于:
所以,三角形AFD
也是等腰三角形,所以,AF=DF
。
同时,由于:
所以,三角形BFD
也是等腰三角形,所以,BF=DF=AF
。
所以,三角形AFB
也是等腰三角形,所以:
所以:
此种方法最巧妙,基本上可以秒解。
如图所示,过B
点作AD
的垂线于F
点,过A
点作BD
的垂线于E
点,连接AE
和BF
。
由于:
也就是:
从而可得:
所以:
同时,
根据三角形面积关系,有:
所以,
所以:
所以,∠ABF=30°
。
所以,∠ABC=30°+45°=75°
。
如图,过A
点做边BC
的垂线,垂足为E
点,同时,做B
点关于直线AE
的对称点F
,连接AF
。
依题意,有:
也就是:
从而可得:
因此:
注意到:
根据角平分线的基本性质,可以确认AF
为∠EAC
的平分线。
所以:
所以,∠B
的值为75°
。
过A
点作BD
的垂线于点E
,过C
点作AD
的垂线于G
,连接AE
和CG
。
仔细观察,我们可猜测直角三角形ABE
和直角三角形ACG
相似。
在三角形ACD
中,根据正弦定理(正弦余弦是高中的知识吧,三角函数的方法就不再列了。),有:
其实15°
为特殊角,我们也可以用其值替代,如果不知道其值,将其当作一个常量也行。
因此,
由于CG=DG,DE=AE
,
所以,
所以:
同理,我们可知道:
如果要确定直角三角形ABE
和直角三角形ACG
相似,我们需要证明:
由于:
同时,
因此,
由于:
所以,所求角B
为75°
。
当然了,也可以不用三角函数来做。
借助于思路二中面积相等的方式,
我们可以求出:
从而,可以知道:
同理,可以确定:
从而:
由于:
同时:
因此:
从而确定直角三角形ABE
和直角三角形ACG
相似。
过A
点作BD
的垂线于点E
,连接AE
。
根据思路二里的三角形面积关系。
我们可以计算出:
由于BE<CE
,因此角B
大于60°
。
我们在AC
上取点M
,使CM=CB
,因此,三角形BCM
为等边三角形。
在直角三角形AEC
中,根据勾股定理,我们可以计算出斜边:
所以:
由于:
因此:
所以:
所以:
所以,所求角B
为75°
。
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