一、直线和平面垂直的判定和性质
1、证明直线和平面垂直的常用方法：
① 利用判定定理；
② 利用平行线垂直于平面的传递性（a∥b , a⊥α，则 b⊥α .）;
③ 利用面面平行的性质（ a⊥α，α∥β , 则 a⊥β .）;
④ 利用面面垂直的性质 .
注：
当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任何一条直线，
常用来证明线线垂直 .
【例题1】如图所示，已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，
点 M , N 分别是 AB , PC 的中点，若 ∠PDA = 45°，
求证：MN⊥平面 PCD .
例题1图
【解析】
思路： 点 M , N 是中点，取 PD 中点 E，则 MN∥AE ,
AE⊥平面 PCD，则 MN⊥平面 PCD .
解答：
证明：如下图所示，取 PD 的中点 E，连接 AE , NE .
∵ 点 E , N 分别为 PD , PC 的中点，
∴ EN∥且= 1/2 CD , (三角形中位线定理)
又 ∵ 点 M 是 AB 的中点，四边形 ABCD 为矩形，
∴ AM ∥且= 1/2 CD ,
∴ EN ∥且= AM，
∴ 四边形 AMNE 为平行四边形 .
∴ MN ∥且= AE ,
又 ∵ PA⊥平面 ABCD，∠PDA = 45°，
∴ △PAD 为等腰直角三角形，
∴ AE⊥PD .
又 ∵ CD⊥AD，CD⊥PA，
∴ CD⊥平面 PAD , 而 AEㄷ平面 PAD ,
∴ CD⊥AE .
又 ∵ CD∩PD = D ,
∴ AE⊥平面 PCD ，
∴ MN⊥平面 PCD .
二、平面与平面垂直的判定
1、证明面面垂直的常用方法：
① 利用判定定理；（判断垂线常用等腰三角形“三线合一”、“勾股定理”等结论 .）
② 利用定义证明； （判断两平面所成的二面角是直二面角 .）
③ 利用常用结论； （若 α∥β，α⊥γ，则有 β⊥γ .）
【例题2】如图所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB = BC , 点 D 是 AB 的中点 .
(1) 求证：BC1∥平面 CA1D ;
(2) 求证：平面 CA1D⊥平面 AA1B1B .
例题2图
【解析】
思路：
(1) 连接 AC1 交 A1C 于点 E，连接 DE，则 E 为中点，
则 DE∥BC1 , 所以 BC1∥平面 CA1D ; （DE 是 △ABC1 的中位线）
(2) AC = BC , 则 AB⊥CD（等腰三角形中“三线合一”），
A1A⊥平面 ABC 则 A1A⊥CD , 则 CD⊥平面 A1ABB1 ,
所以平面 CA1D⊥平面 AA1B1B .
解答：
(1)证明：
如下图所示，连接 AC1 交 A1C 于点 E，连接 DE ，
∵ 四边形 AA1C1C 为矩形，
∴ 点 E 为对角线 AC1 的中点，
又 ∵ 点 D 是 AB 的中点，
∴ DE 为 △ABC1 的中位线，
∴ DE∥BC1，
又 ∵ DEㄷ平面 CA1D , BC1 不ㄷ平面 CA1D，
∴ BC1∥平面 CA1D .
(2) 证明：
∵ AC = BC , 点 D 为 AB 的中点，
∴ CD⊥AB，
又 ∵ A1A⊥平面 ABC，CDㄷ平面 ABC，
∴ A1A⊥CD，
∵ A1A∩AB = A，
∴ CD⊥平面 A1ABC1 ,
又 ∵ CDㄷ平面 CA1D ,
∴ 平面 CA1D⊥平面 AA1B1B .
三、平面与平面垂直性质的应用
① 当两个平面垂直时，把面面垂直转化为线面垂直，从而在证明线线垂直 .
常作的辅助线是在其中一个平面内作两平面交线的垂线 .
② 已知面面垂直，通过作辅助线转化为线面垂直，从而有更多的线线垂直的条件可用 .
通过证线面垂直来证线线垂直是空间中证明两直线垂直最常用的方法 .
【例题3】如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB∥CD，
△PAD 是等边三角形，已知 BD = 2AD = 8 , AB = 2CD = 4√5 .
(1) 设 M 是 PC 上的一点，证明：平面 MBD⊥平面 PAD；
(2) 求四棱锥 P-ABCD 的体积 .
例题3图
思路：
(1) 因为两平面垂直与点 M 的位置无关，
所以在平面 MBD 中，一定有直线垂直于平面 PAD，
猜想来证明 BD⊥平面 PAD .
(2) 四棱锥底面 ABCD 为一梯形，高为点 P 到平面 ABCD 的距离 .
解答：
(1) 证明：
在 △ABD 中，
∵ AD = 4 , BD = 8 , AB = 4√5 ,
∴ AD^2 + BD^2 = AB^2 ,
∴ AD⊥BD，
又∵ 平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD = AD，
∴ BD⊥平面 PAD，
又 ∵ BDㄷ平面 BDM，
∴ 平面 MBD⊥平面 PAD .
(2)
过点 P 作 PO⊥AD，
∵ 平面 PAD⊥平面 ABCD，
∴ PO⊥平面 ABCD，
∴ PO 为四棱锥底面 ABCD 的高，
又 ∵ △PAD 是边长为 4 的等边三角形，
由 (1) 可知 △ABD 是直角三角形，斜边 AB 上的高为：
∴ 梯形的面积为：
∴ 四棱锥 P-ABCD 的体积为：
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