中国目前初中数学教育大纲基于以下这个情况，即绝大多数人现实生活中只会用到三年级以下的数学，因此难度下降很大，属于普遍教育。而高中数学的难度并没有下降，因此初高中之间的衔接存在着很大的困难。
我曾经遇到过本地区最好的公办初中的一个学生，她在初中排在年级前20名（年级总共500多学生），但是进入高中后感觉非常吃力，跟不上进度。和她交流后我一句话概括，现在的初中数学要求太低，难度太低。
本系列专题讲座的习题和例题都来自各年中考题以及重点高中的自招题，难度高于中考的平均程度，差不多是重点高中的自招难度。
系列里面许多解题方法和扩展的知识对进入高中后的数学学习是极其必要的补充。
系列的习题和例题都在不断丰富和更新中。
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第四讲 一元二次方程的解法
一、知识框图
二、重点难点分析
1. 形如x2==p(p0)或(mx+n)2=p(p0)的方程一般用直接开平方法,将方程转化为x=或mx+n=,以达到降次的目的。
2.配方法的理论依据是完全平方式,一般地,任何一个一元二次方程都可以转化成(x+m)2=n的形式,再利用直接开平方法解。
3.公式法解一元二次方程需要先把方程转化为一般式,确定a,b,c的值,再代入求根公式求解。
4.因式分解法是最常用的一元二次方程的解法,通过因式分解将方程转化为A·B=0的形式,则有A=0或B=0,从而将方程转化为一次方程。
难点分析:
1.解一元二次方程的方法有四种,其中公式法和配方法都是从直接开方法推导而来。解题时要选择适当的方法,一般按照先特殊后一般的顺序,根据方程特征选择,如若方程左边为完全平方式,右边为常数,则选择用直接开平方法;若方程右边为零,且左边可以因式分解,则用因式分解法,若方程为一般式可考虑用公式法或配方法。
2.对于含有字母系数的一元二次方程同样可以有不同的解法,但要分清已知数和未知数。
3.对于含绝对值的方程、高次方程等可以转化为用一元二次方程求解的方程,解题的关键是根据转化思想利用换元法、分类讨论、整体思想等数学思想方法将其转化为一元二次方程或一元一次方程求解。
三、例题精选
例1按要求解方程；
（1）x2-16=0(直接开方法)；
（2）x2-4x-12=0(配方法)；
（3）3(x-1)+2(x2-1)=0(因式分解法)；
（4）2x2-4x-1=0（公式法）；
（5）x2+3=2x（任选）；
解答：本例训练四种基本方法，熟能生巧。
（1）移项，开方，得x=；
（2）配方法是整体换元思想的体现，虽然配方的途径很多，但是解方程的时候，我们希望最后把未知数全部用一个括号括起来，括号外为一个常数。
原方程化为：(x-2)2-22-12=0;移项开方后得，x-2=x1=6,x2=-2;
我特意把减去22这步写出来，就是防止产出计算错误。欲速则不达！
（3）3(x-1)+2(x2-1)=(x-1)(3+2x+2)=(x-1)(2x+5);
因此原方程可以改写为：(x-1)(2x+5)=0，解得x1=1，x2=-2.5
（4）由题意：a=2，b=-4，c=-1；
因此==1。
易错点:b的正负号。
（5）最简单的就是配方法，因为这个题目是个完全平方式。
多练习是必要的，既要脚踏实地，也有抬头看天。
x1,2=
例2 已知关于x的方程(a2-4a+5)x2+2ax+4=0
（1）当a=2时，解该方程。
（2）试证明，无论a取任意实数，该方程都是一元二次方程。
解答：
（1）当a=2时，原方程化为x2+4x+4=0，其解为x1,2=-2；
（2）命题等价于方程的二次项系数不等于0.那么可以用解方程的方法，也可以用配方法来证明。
方法一、解方程的思路，只要证明a2-4a+5=0无解即可。
(a-2)2+1=0,因为对于任意实数a，(a-2)2+1，因此方程无解。下一讲的判别式法，=b2-4ac=-4，无解。
方法二、配方法直接证明：a2-4a+5=(a-2)2+1，所以二次项系数不可能等于0，命题得证。
两种方法思想不同，但是解答过程几乎相同。
方法一的思想，对于含代数式系数的方程，可以分析出什么时候是一元二次方程，什么时候是一元一次方程。
例3、请阅读下面解方程（x2+1）2-2（x2+1）-3=0的过程．
解：设x2+1=y，则原方程可变形为y2-2y-3=0．
解得y1=3，y2=-1．
当y=3时，x2+1=3，∴x=±．
当y=-1时，x2+1=-1，x2=-2此方程无实数解．
∴原方程的解为x1=，x2=-．
我们将上述解方程的方法叫做换元法．
请用换元法解方程：（）2-2（）-15=0.
解答：新材料的题型。
令y=，则原方程化简为y2-2y-15=0;
解得y1=-3，y2=5；
当y=-3时，，x=-1.5；
当y=5时，x=1.25；
经检验x=-1.5或1.25都是原方程的根。
例4. 阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程。 例：解方程x2-|x-1|-1=0
解：（1）当x-1≥0即x≥1时，|x-1|=x-1，
原方程化为x2-（x-1）-1=0，即x2-x=0，
解得x1=0，x2=1，
∵x≥1，故x=0舍去，x=1是原方程的解；
（2）当x-1<0即x<1时，|x-1|=-（x-1），
原方程化为x2+（x-1）-1=0，即x2+x-2=0，
解得x1=1，x2=-2，
∵x<1，故x=1舍去，x=-2是原方程的解，
综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-2。
解方程：x2+2|x+2|-4=0。
解答：材料采用的是零点分段法，进行分类讨论
当x，原方程化为x2+2x=0，解得x=0或-2；
当x原方程化为x2-2x-8=0，解得x=-2或4，都舍去。
综上，原方程解为：x=0或-2。
分段讨论时，不在分段范围内的解要舍去。
例5、下面的四个结论，回答问题．
①x2-3x+2=0的两根为x1=1，x2=2；
②（x-1）（x-2）=0的两根为x1=1，x2=2；
③（x-1）（x-2）=x2-3x+2；
④二次三项式x2-3x+2可分解为（x-1）（x-2）．
猜测:若关于x的方程x2+px+q=0的两根为x1=3，x2=-4，则二次三项式x2+px+q可分解为______．
应用:在实数范围内分解因式：
（1）2x2-4x+2
（2）x2-x-1
（3）x2-2x-2
解答：这个题目反映了因式分解和解方程之间的关系：
（1）通过因式分解，我们可以把高次方程逐步降次为多个一元一次方程或一元二次方程，然后求解；
（2）反过来，我们可以通过解方程的方法求出解a或b，那么x-a或x-b就是原多项式的因式。
（3）解高次方程的过程中，我们就可以通过（2）中试根法，逐步降次，解高次方程。这两个步骤是相互相成的。
【猜测】x2+px+q=(x-3)(x+4)
【应用】
（1）令2x2-4x+2=0，则x1,2=1；原式=K（x-1）2,令x=2，解得k=2，原式=2（x-1）2；注意这个系数k，下面直接出结果。
x2-x-1=0，则x1=-1,x2=3,因此，原式=（x+1）（x-3）
（3）令x2-2x-2=0，则用公式法：x=1，原式=（x-1-）(x-1+).
例6、已知关于x的方程kx2+（2k-1）x+k-1=0（1）只有整数根，且关于y的一元二次方程（k-1）y2-3y+m=0（2）有两个实数根y1和y2
（1）当k为整数时，确定k的值；
（2）在（1）的条件下，若m＞-2，用关于m的代数式表示y12+y22
解答：
（1）全部整数解的题型相对简单，可以通过求出解进行分析。这个是惯用思路。
若k=0，则x=-1，满足条件；
若k通过因式分解法（x+1）(kx+k-1)=0或公式法，可以得x1=-1,x2=-1+1/k；
-1+1/k是整数，那么k就只能是；
又因为（2）式是一元二次方程，所以k只能为0或-1.
（2）当k=0时；
关于y的方程：y2+3y-m=0,方程的判别式要求大于0，有两个实根。
y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=(-3)2-2(-m)=9+2m;
此时△=9+4m≥0，即m≥-
所以m＞-2。
当k=-1时，关于y的方程2y2+3y-m=0，方程的判别式大于0，有两个实根
y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=(-3/2)2-2(-m/2)=;
此时△=9+8m，即m≥-.
四、练一练
1、解方程。
（1）(2x-1)2=9;
（2）(x+4)2=5(x+4);
（3）6x2-13x+6=0;
（4）(x+7)(x+3)+(x-1)(x+5)=11.
2、已知关于x的一元二次方程(k+4)x2+3x+k2+3k-4=0的一个根是0，求k的值。
3、已知(x2+y2-5)2=49,求x2+y2。
4、解方程：x2-x-1=(x+1)0。
5、已知实数m，n满足m-n2=1，求m2+2n2+4m-1的最小值。
6、先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4-x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
7、如图，同一段铁丝分成相等的四段可围成正方形，若分成相等的五段，则可围成正五边形，其中正方形的边长为（a2_ab+b2）m．正五边形的边长为（2b-5）m，则这段铁丝的总长是 m．
8、解方程x2-2|x+4|-27=0.
9、若二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根，求自然数a。
10、已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0至少有一个整数根，求正整数a的值。
11、已知关于x的方程(4-k)(8-k)x2-(80-12k)x+32=0的解都是整数，求k。
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