上回说到，数学之美，美在作为一个工具的通用性，艺术追求和思维游戏，相关内容请戳：一道北大强基题背后的故事（三）——什么样的题是好题？
一道北大强基题背后的故事（二）——出题者怎么想的？
一道北大强基题背后的故事（一）——从走弯路到看答案
今天，我们站在暂时仅仅把数学当作考试工具的孩子们那里聊聊，到底什么是数学分析能力，怎么培养和锻炼呢？根据机理分析的方法，解题的数学模型，自然就是由着出题的套路倒推了。并且，我们优先学习，那些有好题特点的题怎么思考，这样才不会学偏。
为了讲清楚这个问题，还是得搬出我构建世界的核心框架之一——状态机模型（另一个是博弈论模型）。以前我是做过梦，万物皆可数学建模。但做梦也没想到，就解决数学题本身，也可以建模，甚至数学建模过程，都可以建模了。这太可怕了，意味着我们思考数学和解决问题的过程，也是有模型的，可能Chat-gpt就是意外地掌握了这个模型吧！先看看解数学题这个模型的使用状态机的背景。大到国家治理，中到管理一个工程项目，小到解一道数学题，只要有超过一种完成它的可能路径，不是像算加减乘除那样有唯一死逻辑的问题，都可以用状态机模型加以描述。并且计算机中有经典的动态规划算法的思想和遍历的求解算法，即用篱笆网络来计算。要么后向递归，要么前向步数BFS迭代，甚至两边一起走，最后再回溯求最优解的想法来建模我们的求解过程。数学题的已知是初始节点A，要求的答案是目标节点B。我们的任务就是，用严谨的逻辑链条（公理，定理和符合它们的计算结果），把A到B连起来，无论是证明，还是求值。于是就有几类不同的题目：最简单的题，A和B之间可以直接用教科书上已知的定理，套用上定理条件的模式，自然就可以到达B，属于送分题。类似于古诗文默写，数学概念判断题，纯熟练应用和记忆，一般只在学习新课时的练习题中出现，考试不会直接大量考。稍微复杂的题目，存在1个到多个中间节点，但每个节点往下走的后继节点在知识范围内也只有1个。即基本不存在要搜索最优路径的问题，仍然按照已知知识逐步套用即可解得。比如计算题，函数求最值等，需要有多个计算步骤，但是每个步骤怎么接着走是固定的，这种题是考试中大量出现的中等题，考速度和耐心。难题，则存在1个到多个中间节点，并且从每个节点往下推导的路径有多条，需要综合判断后作出决策和尝试，进而找出某一条逻辑正确的可行解。典型的就是平面几何和立体几何题，在已知的知识框架内，各种定理之间本就有相互证明，冗杂的成分。因此要得到结论，往往存在多条通路，也存在一些不可行的通路，无论是求值还是证明，都是如此。这时候就需要快速地猜想，论证，进而获得答案，比较考验综合能力。后面我会写文章专门聊聊平面几何的特点。超难题，存在1个到多个中间节点，从每个节点往下推导的路径有多条，而且存在若干节点推导后继中，是很难平常直接记忆得到或连接过的。但是往往可以借助一些条件或结论的特征（非严谨的结论）来进行猜想，进而转化为难题级别的节点来解决。典型的就是数学竞赛中需要作辅助线的那些平面几何题，[((1 + sqrt(5)) / 2) ^ 12]自然也是。其思考到这个转化的逻辑并非数学中的主逻辑，而是一种趣味数学或数学文化，部分时候又和核心主干相关。而那些经典的方法和联想，在熟悉的人看来，也会觉得熟悉。在高考级别的数学考试中，一张卷子不会超过3道难题，基本没有超难题，那个就交给数学奥林匹克了，那是因为毕竟要考虑到作为基础性考试的基础性，兼顾选拔性。我们常说的数学分析能力，其实在超难题之前，都是对基本概念知识，逻辑的掌握能力。而奥数和趣味数学则是超难题的代表，需要的是更强的数学分析能力，或者所谓解题的艺术。其中一部分和真正的数学相关联，因为这种思考方式和数学本身还是有相近的地方，至少是对知识深度熟练掌握的机会，也是逻辑能力锻炼的绝佳素材。但是再过学习的话，就是数学文化中的小众艺术了，要认清现实。如果有这等兴趣，当然是很好的素养和修为；如果没有，这断然就会害了青少年。因为没有兴趣强行因为功利原因下学得的超难题，最后记下来的没有多少逻辑和数学理解，都是一些没有通用性的浅层套路，占据时间和大脑不说，还反而养成了并没有多少通用性的思考习惯。索性在中学阶段，能做到掌握解超难题方法的同学，也就竞赛生中的一部分罢了。一是没有这个思维层次的意识，二是在这个层次之前的大量记忆和练习熟练度已经耗费了很多精力，没有这个余力了。而这个也是数学考试最顶层的思维，高考水平的考试比之模考就是得有这样的高度，通过通用思维考察而非浅层技巧熟练度的背记，去选拔出有这等能力的人才来。而目前的AI什么的根本到不了这个层次，连皮毛都摸不到，用到的全都是人类那种说不清楚的非常模糊的经验加尝试加决策的过程（当然，围棋AI和chat-gpt的出现告诉我们，无非是样本，算力和算法的问题，有朝一日仍然会有所突破）。这就是数学题对智能的要求，它没有绝对的方法论可以指引你走向终点，但是总是有某些线索能指引你过去，就像破一起数学案件一样。在计算中形式逻辑的执行中间，思路的取得，却是辩证的，要试错的，这才是数学题的艺术美感，是前文《一道北大强基题背后的故事（四）——数学之美，美在哪里？》里的第三级别的数学之美，没那么广泛，但和所有艺术一样，足够令人着迷。所以我说这是一场游戏嘛，是一场出题人和做题人之间的博弈，只有站在最高层级上想透他们想问题的方式，才能战胜他们。最后，在做数学题层面，还考验耐心，以及根据临场情况做出的决策，因为解题还有时间限额，还涉及到时间规划的最优。这种估计式的基于特征的预感和方向的把握，感觉确实可以是可数学建模后变成机器学习问题的部分。所以数学题求解，这一攻一防，本质上也是可以机器化去对弈的，得找个场景抽象出来做做实验才好。所以以后，无论实战解题，还是考后复盘，把思考过程抽象成一个状态机，然后把自己的大脑放在对应的情境里，看能否训练自己往正确的解题思路靠拢，应该就是训练解题级别数学，最正确的方法模型了。回忆一下当年自己高考时候的学习方法，没有拼命去刷题，而是以题目为引子，去不断训练自己抽取题目特征，找到思路，快速验证，最后迅速找到最优解的过程。只是当年没有把这个过程模型化，而老师的教育和自己刨根问底的思维习惯自然形成了这个结果，算是十分幸运了。下一篇，我们具体讲讲，如何在这套解题模型下，训练解题能力，接着唠！
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