首先,考虑方程 ,通过变换 ,我们得到新的方程:
现在,我们有一个标准的热传导方程。我们可以使用热传导方程的极值原理来证明.
不妨考虑矩形区域. 作变换后 满足如下初边值问题:
先证解的唯一性
设 和 是在函数空间 中的两个解. 记 , 那么满足齐次初边值条件的定解问题:
设 为 的抛物边界, 由极值定理,对 成立
即在区域 上, . 则 ,于是 唯一,也即 唯一.
下面考虑解的稳定性
设 是如下问题的解
当 时 如果有 那么由极值原理得 , 则 即 是稳定的.
在矩形域 上考虑如下第一边值问题。
设
则由热传导方程的极值定理 有
设 是问题 的两个解,则它们的差 满足如下第一边值问题:
此时 即有 因此 , 得证唯一性.
设 满足如下边值问题
则 满足如下边值问题
取, 则 . 因此该初边值问题的解为稳定的。
解: 作变换 , 则 满足方程 , 且有
根据热传导方程的极值原理有
而对任何
为证唯一性只要证明问题
只有零解. 事实上, 此时 , 因此 , 即 .
为证稳定性, 只要证明问题
当 和 微小时, 解亦微小. 设当 时,
则对 , 成立
故此问题是稳定的.
解:设 在以 为边界的区域 上调和. 考虑到 在闭区域 上 的连续性, 知 一定可以取到最大值 . 又因 是闭集, 在 上也有最 大值 . 下证 . 用反证法. 设 在 内某点 达到最大值
作辅助函数
其中 是以原点为中心、包含区域 的一个圆的半径. 此时有
而
故 不在边界 上取到最大值, 它必在 内某点 取到最大值, 在 这点应有
但另一方面
导致矛盾. 因此应有 .
设 是 中的有界闭区域,边界 光滑 且 ,
用反证法. 记 是 在边界 上的最大值 设 在闭区域 上的最大值 在 的内部点 取得. 设 , 显然
若 , 我们作一辅助函数
其中 是闭区域 的半径.
注意到 , 且在边界 上有 . 这表明函数 在区域 内部的某一点 上取到最大值. 在该点外
但在 点处. , 即 . 这与上式矛盾,故 . 得证
要证明二维热传导方程的柯西问题在 时以 的衰减率趋于零,首先回顾二维热传导方程和其解的表达式。
二维热传导方程的柯西问题如下
解为:(利用傅里叶变换)
(如果感兴趣可以看看,推导过程放在文末)
由积分的绝对值不等式 有
由于 为 上的有界连续函数,
则
其中 为一个仅与 及
有关的正常数.
对方程和初始条件作傅里叶变换
则有
可看作 关于 的常微分方程的初值问题
解得:
于是
利用卷积定理 有
于是:
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