前面大概十来个判断题,然后是解答题若干（暂时就不写解答啦，题目比较简单，留给读者自行思考）
由外测度定义证明: 中集合
的外测度为零,其中 4 个有限常数 满足 .
下面两个也考了其中一个
设 以及 都是 的子集, 均为可测集,并且 ,证明 是可测集.
设 ,设 为可测集合 列, 并且 证明 可测.
还考了一个勒贝格控制收敛定理
证明
(提示: 被积函数几乎处处收敛)
证明: 令 ,则除去 (是一个零测度集合) 外, 在 上处处收敛于零,从而 在 上几乎处处收敛于零。又因为 a. e. 于 ,故由控制收敛定理可得 。
六、 证明连续函数空间 的子空间:
是完备的子空间. 其中 是一取定函数.
证明：因为 完备,所以只需证 是闭子空间. 为此,设 中函数列 按照范数收敛于 . 来证 . 有以下两种证法:
证法 1: 因为连续函数空间中按照范数收敛等价于一致收敛，且显然函数列 一致收敛于 ,注意到对一切 成立 ,于 是有
于是有 .
证法 2: 注意到对一切 成立 ,于是有
从而有 ,进而有 .
七、(8 分)证明 的子空间 是可分的，其中 表示收敛数列全体.
八、(每小题 5 分,共 10 分) 设 是 Banach 空间, , 是一个给定的向量. 证明如下两个命题
则 为压缩映像的充要条件是 .
在 中有唯一解,其中 表示恒等算子.
九、 (每小题 5 分,共 10 分) 定义算子 如下:
证明 是线性算子;
证明 是有界算子,并且 .
十、(8 分)设 为一内积空间, ,则 的充要条件是: 对于任意 ,有 并且 。
证明: (必要性) 设 ,即 ,则对任意 ,
于是 。
(充分性) 设对任意 ,有 并且 。
来证 ,即 。事实上,
于是,可断定 。
十一、 设 是有界数列,定义线性算子 如下:
(1) 证明 是有界算子,且 ;
(2) 求 的 Hilbert 共轭算子 。
证明: (1) 显然是线性算子。 ,则
从而, 有界,并且 。另一方面,对每一个自然数 ,取 (第 项 为 1,其余各项为 0 的数列),则 ,且 ,于是又有 ,由 的任意性得到 ,因此 。
(2) ,有
其中, 。类似 (1) 中方法易证 ,因此 。
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