从勾股定理到帕塞瓦尔(Parseval)等式

帕赛瓦尔(Parseval)等式

傅里叶积分定理(傅里叶变换)表明傅里叶正变换

和逆变换

可以通过积分运算互相表示，正变换和逆变换在形式上非常对称。更有意思的是函数及其傅里叶变换两者的平方的积分之间也存在一个非常对称的定量关系，即

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上式称为帕赛瓦尔(Parseval)等式。有的地方等号右边有个系数1/ 2π，这是因为在定义傅里叶变化时将傅里叶积分前面的系数1/2π放到了傅里叶变换的表达式中。而我们这里是将系数1/2π拆成两个1√2π分别放到傅里叶变换和傅里叶逆变换前面，这样在形式上更对称。

帕赛瓦尔等式与勾股定理

由于傅里叶变换是傅里叶级数的极限情形，帕赛瓦尔等式自然可以推广到傅里叶级数。

傅里叶级数和傅里叶变化将运动用简谐运动的线性组合表示，这跟空间向量可以由不同的基向量(基矢)的线性组合表示道理一样(函数是无穷维向量)。

若将向量用一组完备的正交基表示，帕赛瓦尔等式在向量空间中的意义就是，向量的模的平方等于向量在各个基上的投影的平方和，在二维向量空间，这个性质就是勾股定理。

因此傅里叶变换和傅里叶级数的帕赛瓦尔等式就是勾股定理在以三角函数为基的完备函数空间中的推广，它一样的可以推广到更一般的函数空间。若不完备，那么帕赛瓦尔等式不再成立，取而代之的是贝塞尔不等式，这在三维空间中的意义就是向量的模不小于其任意两个坐标分量的平方和。