三角函数的欧拉公式

  在6类基本初等函数中，幂函数与指数函数都是以幂来定义的，只不过两者的自变量分别出现在底和指数上，而常数函数可以看作指数为零的幂函数，对数函数是指数函数的反函数。此外还有三角函数和反三角函数，后者是前者在一个单调区间上的反函数。因此基本初等函数可以分类两大类，一类是根据幂定义的，一类是根据圆的几何特征定义的(三角函数和反三角函数)。貌似这两类函数完全没任何关系。然而所有的不同规律在更深层次上都是统一的，这对于基本初等函数也成立。在引入复数的概念之后，欧拉发现在复数域上三角函数和指数函数本质上是同一类函数，可以通过以下的欧拉公式将其联系起来

​

其中i为虚数单位。将上式中的x取相反数可以得到

​

将上述两式相加、相减，整理后可以分别得到

​

和

​

通常后面的三个公式也叫作欧拉公式。

    欧拉公式可以通过幂级数简单地证明。欧拉公式是复变函数论的基础。此外，它在很多领域都有广泛的应用，比如证明三角函数的恒等式(和角公式、倍角公式等)，解解微分方程。