用幂级数证明欧拉公式

以及三角函数和指数函数的幂级数展开式(

可以看出，上述三个函数的幂级数展开式有相似的结构。其中余弦函数的幂级数展开式只有x的偶次项，系数正负号交替出现；正弦函数只有x的奇次项，正负号也是交替出现；而指数函数x的奇偶次项都有，且系数符号都为正。要是用幂级数来定义复指数函数，使复指数函数跟实指数函数幂级数展开式形式一样，即

比较上式跟三角函数的幂级数展开式，就会发现有以下等式成立

欧拉公式得证。

用上述含复数项的幂级数来定义复指数函数可以推导出欧拉公式；相反，要是用欧拉公式作为复指数函数的定义，也可以推导出上述复指数函数的幂级数。通常更多的情况是将欧拉公式作为复指数函数的定义。

有了欧拉公式，就可以进一步在复数域上定义其他在实数域上有定义的基本初等函数，包括：幂函数、对数函数(指数函数的反函数)、三角函数、反三角函数。比如，将前文的欧拉公式中的x换为-x，则有

将上式与前面的欧拉公式相加、相减，再整理后可以分别得到

上两式也叫欧拉公式，可以作为三角函数在复数域上的定义。比如，对于自变量为复数的余弦函数，有

上式中a、b均为实数，cosh和sinh表示双曲函数(三角函数的近亲——双曲函数)，从上式的结果可以看出复数的余弦仍然是一个复数。

当x=π时，欧拉公式

变为

上式也叫欧拉公式。有意思的5个特殊的数：0(加法的单位元)、1(乘法的单位元)、i(虚数单位)、π(圆周率)、e(自然对数的底，也是一类特殊极限的值)，一起出现在了这个公式中，因此该公式有“上帝创造的公式”这样的赞誉。

根据欧拉公式也可以推导出棣莫弗公式。而且通过欧拉公式定义的复数域上的指数函数以及进一步导出的其他基本初等函数的很多性质跟实数域上的同类函数一样，比如复指数函数的微分、乘法的性质(两数指数函数之积等于两数和的指数函数)。指数函数微分、积分、乘法运算通常比三角函数的相应运算简便，所以通过欧拉公式将三角函数化为指数函数往往也能使问题简化。正因为如此，傅里叶变换常用复指数函数而不是三角函数表示。

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