欧拉公式在实函数求导中的应用

很多实数域中的问题在复数域中解决都会更加简单，比如前面介绍的用棣莫弗公式推导三角函数的n倍角公式就是用复数的乘方运算较简便地推导出了三角函数在实数域上的n倍角公式。欧拉公式(三角函数的欧拉公式;用幂级数证明欧拉公式)是复变函数论的基础，用它自然也可以更简便地解决很多实数域中的问题。这里举一个实函数求高阶导数的例子来展示欧拉公式的实用性。

很多问题都会涉及到求函数的导数以及高阶导数，比如函数求极值、数学建模中解高阶微分方程、用泰勒公式将函数展开成幂级数等。大多数函数高阶导数都比较复杂，计算非常麻烦。但指数函数的导数还是指数函数，即

因此指数函数的高阶导数也是指数函数，即

对于其他非指数函数，要是能化为指数函数，求高阶导数一般也就会简单得多。考虑到欧拉公式可以将三角函数转化为指数函数，以及指数函数之积仍然是指数函数；对于三角函数与指数函数相乘的复杂函数则可以通过欧拉公式简化求高阶导数的计算。

比如对于函数

(其中a,b为实数)可以将其中余弦函数用欧拉公式表示成指数函数，从而得到

上述函数的n阶导数为

要是允许用复数表示的话，上式就是所求结果，是比较简单的。

若必须用实数表示，则需要用二项式定理和欧拉公式进一步展开

再化简，最终复数部分会相互抵消，只剩下实数部分

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