光滑曲线的弧长公式

定义1

对于一条平面曲线C，其参数方程

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中的函数x, y是k阶连续可微函数，则该曲线称为Ck类曲线。

定义二

曲线上满足

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的点称为正则点。若曲线上所有点都是正则点，则称该曲线为正则曲线。

定义三

C1类正则曲线称为光滑曲线。

公式

光滑曲线弧微分公式为

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或

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此时要保证ds＞0, dt＞0。将上式积分就得到弧长公式

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其中t₀为起点，满足t₀＜t。当曲线表示为为函数y=f(x)时，弧微分为

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以上所有公式都可以推广到三维空间曲线。