斯特林公式

    在数学和物理的很多问题中都会计算某些数的阶乘，比如组合数学和统计力学。后者经常涉及非常庞大的数的阶乘的计算。对于较小的整数，可以根据阶乘的定义，即逐次相乘来计算阶乘。然而对于较大的数，这种逐次相乘的方法计算量会非常大，以至于很多时候几乎没有实用价值。另外，阶乘只在离散的整数点处有定义，因此很难用处理连续函数的方法来处理涉及阶乘的问题。

    幸运的是有数学家将整数的阶乘推广到了一般实数(Γ函数与广义阶乘函数)，这种推广是将阶乘用Γ函数表示。尽管阶乘经过这种推广后变成了可微函数，因而阶乘的计算可以转化为连续函数的微积分运算。然而Γ函数并不是一种初等函数，而是用含参变量的初等函数的积分表示，因此用它来表示阶乘在很多时候并不是一种令人足够满意的简便方法。

    但这并不妨碍进一步根据Γ函数推导出阶乘的一种近似表达，写成极限形式就是

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或者近似的写法为

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当n越大时，用斯特林公式近似计算出的阶乘值相对误差就越小。统计力学种涉及到的粒子数的数量级通常大约为1023，其中涉及到的阶乘用斯特林公式近似计算已经非常准确啦。此外，斯特林公式还是可微的，这很适用于统计力学中涉及到阶乘运算的极值问题的处理，因为可微函数的极值问题可以通过求微分(导数)来解决。