解析函数的泰勒级数

定理1

幂级数在其收敛域内绝对收敛，其和函数在该圆内解析，并且可以逐项微分、积分任意多次(即和函数的微分、积分等于各项微分、积分后得到的级数的和函数)，得到的新的幂级数与原来的幂级数有相同的收敛半径。

定理2(解析函数的泰勒展开定理)

如果函数f(z)在z₀的某领域|z-z₀|＜R内解析，则对该邻域内的任意点z有

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上式称为f(z)在z₀处的泰勒展开式，其右端的级数称为f(z)在点z₀处的泰勒级数(泰勒级数与幂级数)，其中c_n为泰勒级数的展开系数，可以表示为

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这里的C为该邻域内任意一条包围z₀的正向简单闭曲线。

由于解析函数都可以展开为幂级数，而幂级数在收敛域内都解析，且可以逐项微分、积分，因此幂级数是一种很好的研究解析函数的工具。