周期函数在满足狄利克雷条件下可以展开为傅里叶级数(傅里叶级数)。事实上，有限区间上的非周期函数也可以通过平移的方式作周期延拓转变成周期函数，然后再展开成傅里叶级数。然而对于无限区间上的非周期函数却没法直接展开成傅里叶级数。不过可以考虑在形式上先展开成傅里叶级数，然后取周期趋于无穷大时的极限，这样就可以得到傅里叶积分，为了方便通常用欧拉公式将三角函数转化为复指数函数(三角函数的欧拉公式)。
如果函数f(t)在(-∞, +∞)上满足
(1)在的任意有限区间满足狄利克雷条件；
(2)在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积，则有
上述两式表明F(ω)和f(t)可以通过积分运算互相表示。其中，前式称为f(t)的傅里叶变换(或称为象函数)，记作傅里叶变换的应用非常广泛。例如，当t为时间，ω为频率时，傅里叶变换相当于将信号从时域变到频域，很多问题在时域处理比较麻烦，但在频域处理却比较简单，例如噪声的去除，这时可以用傅里叶变换将信号变到时域处理后再通过傅里叶逆变换变回频域。傅里叶级数可以将一般的周期信号分解为不同周期(频率)的谐波的组合，这意味着复杂的振动可以分解为无数个不同频率的简谐运动的组合，只不过它们的周期是原来周期的整数倍。同样的，非周期信号也可以通过傅里叶变换分解为不同频率的谐波的组合，也就是一般的非周期运动也可以分解为无数个不同频率的简谐运动的组合，只不过这里的周期或频率是连续分布的。由于函数微分或积分的傅里叶变换可以转化为函数的傅里叶变换，因此傅里叶变换可以用于微分方程和积分方程的求解。在量子力学中，傅里叶变换可以将波函数从坐标空间变换到动量空间或从动量空间变换到坐标空间。
