Gauss-Bonnet定理

平面几何的很多结论都可以推广到曲面(协变导数与曲面上向量的平移；球面三角)。我们知道，在平面上三角形的内角和等于180度(或π)，推广到多边形就是多边形的内角和为(n-2)×180°(或(n-2)π)。上述结论等价于多边形的外角和等于360°(或2π)。能否将这个结论也推广到一般曲面呢？

为了回答这个问题，首先在曲面S上确定一个由k条光滑曲线围成的曲线多边形。记它围成的单连通区域为G，多边形就是G的边界，记为∂G。设曲面S的高斯曲率和测地曲率分别为K和k_g，曲面的面积元素和弧长元素分别为dσ和ds，则有以下等式成立

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上式称为Gauss-Bonnet定理，也叫Gauss-Bonnet公式，式中α_i是∂G的第i个内角的大小，π-α_i自然就是∂G的第i个外角的大小。前面介绍过它在球面上的特殊情形(球面三角形的高斯-邦奈定理)。华裔数学家陈省身对Gauss-Bonnet定理进行了推广，推广后的结论现在被称为Gauss-Bonnet-Chern定理。