微分几何中的高斯绝妙定理

微分几何是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何主要研究二维空间中的曲线和三维空间中的曲线、曲面的局部和整体结构特征。而现代微分几何开始研究更一般更高维的空间——流形。微分几何与解析几何、拓扑学等其他数学分支有紧密的联系。其中解析几何主要关注怎么通过将几何图形放入一定的坐标系中用坐标法来解决几何问题，不太注重微积分理论的应用，外在坐标系是解析几何的核心。而微分几何关注的重点不在于外在坐标系，内蕴几何甚至都可以把几何体自身当成一个空间，直接在上面建立坐标系；而在于几何图形或空间自身的局部或整体性质，它所研究的几何图形或空间通常都比较光滑。拓扑学连几何体的形状和大小都不关心，只关心位置关系，若两个几何体通过连续变形能相互转化，则在拓扑学中它们是等价的，例如球面跟正方体表面就是等价的。Gauss-Bonnet定理就是联系微分几何和拓扑学的一个典型理论，其中的2π表征的是曲面的拓扑性质，因此它在一些情况下也可能是其他值。微分几何对物理学的发展也有重要影响，例如爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。

古典微分几何相对更加基础，现代微分几何中的很多概念和理论都可以从古典微分几何推广得到。因此了解古典微分微分几何有助于理解现代微分几何。古典微分几何主要分为曲线论和曲面论。其中，曲线论更加简单，它的一些重要的概念和理论之前已经介绍过(怎样准确描述一条曲线？；曲率；空间曲线的伏雷内公式；曲率和挠率的一般参数表达式及空间曲线论的基本定理)，曲面论则丰富得多，例如前面介绍过的Gauss-Bonnet定理和协变导数与曲面上向量的平移就是曲面论的内容。

等距变换与内蕴量

曲面论中一个很重要的概念是内蕴量，不过它得从曲面的等距变换说起。若两个曲面上的点存在一一对应的关系，则将这种一一对应的关系称为曲面之间的变换。若曲面之间的一个变换保持曲面上任意曲线的长度不变，则称这种变换为等距变换或保长变换，在等距变换下保持不变的曲面性质称为内蕴性质，在等距变换下保持不变的曲面几何量称为内蕴量。

高斯绝妙定理

前面介绍过，曲面上一点处两个主曲率之积称为高斯曲率(怎样描述曲面的弯特征?)，即

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高斯在研究曲面时发现了曲面的一个非常有意思的性质，即曲面的高斯曲率是内蕴量，后来这条性质被称为高斯绝妙定律。

高斯绝妙定理的发现是微分几何发展史上的一个里程碑，由此产生了曲面的内蕴几何。根据该定理可知，一张不可拉升和压缩的曲面无论怎么变形，它的高斯曲率都保持不变。这个结论可以解释很多有意思的问题。

例如，我们知道柱面、锥面等曲面可以展开成平面，但球面、旋转抛物面等绝大多数曲面却不能。这是因为平面的高斯曲率恒为零，锥面、柱面等曲面的高斯曲率也恒为零，但球面和旋转抛物面等曲面的高斯曲率并不恒为零。因此一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的高斯曲率恒为零。

很多植物的叶片都长成关于主叶脉对称，而且两侧向上弯曲的形状。这种形状的叶片由于沿叶脉方向的法曲率几乎为零，其高斯曲率也接近零，叶片向背面弯折必然导致高斯曲率发生明显变化。除非外力大到足以让叶片发生明显的拉伸或压缩变形，不然这是不可能做到的，从而这种结构有利于叶片承受更多的力量。在结构力学中，马鞍面具有较好的承重抗压能力也是这个原因。甚至有的薯片(如品客薯片)都制成了类似于马鞍面的形状，这样可以减少破损。

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