无穷乘积

根据极限可以从数列求和出发定义无穷级数，也可以通过类似的方式定义无穷乘积。​

​设根​p₁,p₂,…,x_n-1,x_n,…(p_n≠0)是无穷可列个实数，我们称它们的“积”

​

为无穷乘积，记为

​

不过这只是形式上的定义。为了对上述无穷乘积给出严格的定义，先构造无穷乘积的“部分积数列”{P_n}，数列的元素定义为

​

定义1 如果部分积数列{P_n}收敛于一个非零的有限数P，则称无穷乘积

收敛，且称P为它的积，记为

​

如果{P_n}发散或{P_n}收敛于零，则称无穷乘积

发散。

定理1 如果无穷乘积

收敛，则

(1)

​

(2)

​

定理2 无穷乘积

收敛的充分必要条件是

收敛。

推论2.1 设a_n>0(或a_n<0)，则无穷乘积

收敛的充分必要条件是级数

收敛。

推论2.2 设

级数

收敛，则无穷乘积

收敛的充分必要条件是级数

收敛。

定义2 当级数

绝对收敛时，称无穷乘积

绝对收敛。

定理3 设a_n>-1，则下述三命题等价：

(1)无穷乘积

绝对收敛；

(2)无穷乘积

收敛；

(1)级数​

收敛。

我们知道，数或函数可以用无穷级数表示，类似地，也可以用无穷乘积表示(ζ函数的欧拉乘积式；用一元无穷次方程求所有正整数倒数平方和)。例如

令x=π/2就可以得到关于圆周率的​Viète公式

将三角函数的值代入上式，就可以得到​Viète公式的另一种形式

有意思的是上式右端的分母是无穷个只含数字1/2的项相乘。事实上，圆周率还有很多种无穷乘积表达式。