【新乡市一中九上月测23】【手拉手相似】

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试题内容

请回答下列各题

(1)问题背景:

如图1，已知△ABC~△ADE，求证:△ABD~△ACE. 

(2)尝试应用:

如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=

∠ADE=30°，AC与DE相交于点F.点D在BC边上，(AD/BD)=√3，求(DF/CF)的值.

(3)拓展创新:

如图3，D是△ABC内一点，∠BAD=∠CBD=30°，∠BDC=

90°，AB=4，AC=2√3，直接写出AD的长.

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解法分析

第一问

相似三角形1+相似三角形2

①由△ABC~△ADE，

证明∠BAC=∠DAE，

AB:AD=AC:AE，

②根据等式性质一，

证明∠BAD=∠CAE，

交换内项位置，

证明AB:AC=AD:AE，

根据相似三角形的判定定理，

证明△ABD~△ACE. 

第二问

第一问的类比迁移，相似三角形1+相似三角形2+相似三角形3

①根据相似三角形的判定定理，证明△ABC~△ADE，

②与(1)同理，

证明△ABD~△ACE，

根据相似三角形的对应边成比例，求出EC=(√3/3)BD，

③根据相似三角形的判定定理，证明△ADF~△ECF，

根据相似三角形的对应边成比例，求出DF:CF=AD:EC=AD:(√3/3)BD=3.

第三问

第一、二问的类比迁移，相似三角形1+相似三角形2+直角三角形

方法一 

①过点D作AD的垂线，交AB于点E，连接CE，根据相似三角形的判定定理，

证明△BDC~△ADE，

②与(1)同理，

证明△ADB~△EDC，

根据相似三角形的对应边成比例，求出CE=(4√3)/3，

③易证△AEC为直角三角形，

根据勾股定理，

求出AE=(2√15)/3，

在直角三角形ADE中，

根据特殊角的三角函数值，

求出AD=√5.

方法二 

①过点D作AD的垂线，过点A作AB的垂线，两线交于点E，连接BE，根据相似三角形的判定定理，证明△BDC~△EDA，

②与(1)同理，

证明△ADC~△EDB，

根据相似三角形的对应边成比例，求出BE=6，

③在直角三角形ABE中，根据勾股定理，求出AE=2√5，

在直角三角形ADE中，

根据特殊角的三角函数值，

求出AD=√5.

方法三 

①在AC右侧作∠CAE=30°，AE与BD的延长线交于点E，连接CE，根据相似三角形的判定定理，证明△ABC~△ADE，

②与(1)同理，

证明△ABD~△ACE，

根据相似三角形的对应边成比例，求出CE=(√3/2)BD，

③设CD=x，则BD=√3x，BC=2x，CE=(3/2)x，

在直角三角形CDE中，根据勾股定理，求出DE=(√5/2)x，

根据相似三角形的对应边成比例得：AB:AD=BC:DE，

即：4:AD=(2x):((√5/2)x)，

求出AD=√5.

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