【一石激起千层浪】【三角形中的中点问题】【尺规作图】

试题内容

三等分任意一条线段的方法如下:
①画线段AB;
②过点A作一条不与AB重合的直线l;
③以点A为圆心,任意长为半径画⊙A,交直线l于点C,D;
④连接BC,找出BC的中点E,连接DE交AB于点F,则点F即为线段AB的一个三等分点.说明点F为线段AB的一个三等分点的理由.

1

中点→中位线→平

行线→相似三角形

证法1：连接AE、DB，

主要步骤：

△AFE∼△BFD，

AF:BF=AE:DB=1:2.

证法2：取DE的中点G，连接AG⇒AG∥CB；

证法3：作AG∥CB交DE于点G⇒点G是DE的中点；

主要步骤：

△AFG∼△BFE，

AF:BF=AG:BE=AG:CE=1:2.

证法4：取AB的中点G，连接EG⇒EG∥CD；

证法5：作EG∥CD交AB于点G⇒点G是AB的中点；

主要步骤：

△AFD∼△GFE，

AF:FG=AD:EG=AC:EG=2:1，

AB:FG=2AG:FG=6:1，

AF:AB=1:3.

证法6：取CE的中点G，连接AG⇒AG∥DE；

证法7：作AG∥DE交BC于点G⇒点G是CE的中点；

主要步骤：

AF:AB=GE:GB=1:3.

证法8：取AC的中点G，连接EG⇒EG∥AB；

证法9：作EG∥AB交CD于点G⇒点G是AC的中点；

主要步骤：

△AFD∼△GED，

AF:GE=AD:GD=2:3，

AB:GE=2:1=6:3，

AF:AB=1:3.

证法10：连接CF，取DF的中点M，取BF的中点N，连接AM、EN⇒AM∥CF、EN∥CF；

证法11：连接CF，作AM∥CF交DE于点M，作EN∥CF交AB于点N⇒点M是DF的中点、点N是BF的中点；

主要步骤：

△AFM≅△NFE，

AF=NF=BN，

AF:AB=1:3.

2

中点→中线→倍长

中线→平行四边形

证法12：延长FE至点G，使GE=FE，连接CF、CG、BG

主要步骤：

四边形CFBG是平行四边形，

FB=CG，AF∥CG，

AF:CG=DA:DC=1:2，

AF:FB=1:2，AF:AB=1:3.

证法13：延长FA至点G，使GA=FA，连接CF、CG、DG

主要步骤：

四边形CFDG是平行四边形，

AF:GF=1:2，ED∥CG，

FB:GF=EB:CE=1:1，

AF:FB=1:2，AF:AB=1:3.

证法14：延长DE至点G，使GE=DE，连接CG、BG、BD

主要步骤：

四边形CDBG是平行四边形，

BG=DC，BG∥DC，

AF:FB=AD:BG=AD:DC=1:2，

AF:AB=1:3.

证法15：延长BA至点G，使GA=BA，连接CG、DG、BD

主要步骤：

四边形CBDG是平行四边形，

BC=DG，BC∥DG，

FB:FG=BE:DG=BE:BC=1:2，

(AB-AF)/(AB+AF)=(1/2)，

AF:AB=1:3.

3

等分点→等分线

→等分面积

证法16：连接CF，

∵DE是△BCD的中线，

∴S1+S3+S4=(1/2)S△BCD，

∵BA是△BCD的中线，

∴S1+S3+S2=(1/2)S△BCD，

∴S2=S4，

∵FE是△CFB的中线，

∴S1=S2，

∵FA是△CFD的中线，

∴S3=S4，

∴S1=S2=S3，

∴S△AFC:S△ABC=1:3，

∴AF:AB=1:3，

即:点F为线段AB的一个三等分点.

篇幅有限，

思维无限.