【2021四川资阳23】【手拉手全等】【相似三角形】【几何综合】

四川卷

2021中考数学

2021四川资阳23

已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
(1)如图1，已知点D在BC边上，∠DAE=90°，AD=AE，连结CE．试探究BD与CE的关系；
(2)如图2，已知点D在BC下方，∠DAE=90°，AD=AE，连结CE．若BD⊥AD，AB=2，CE=2，AD交BC于点F，求AF的长；
(3)如图3，已知点D在BC下方，连结AD、BD、CD．若∠CBD=30°，∠BAD＞15°，AB=6，AD=4+，求sin∠BCD的值．

解法分析(1)

手拉手全等

BD=CE，BD⊥CE，理由如下：
连接DE，由题意得：
△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即：∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≅△CAE，
∴BD=CE，∠ACE=∠ABD=45°，
∴∠BCE=90°，即：BD⊥CE.

解法分析(2)

第(1)问类比迁移
相似三角形的判定和性质

连接DE，与(1)同理，
可证明：△BAD≅△CAE，
∴BD=CE=2，∠AEC=∠ADB=90°，
在直角三角形ABD中，
由勾股定理得：AD=6，
∴AE=AD=6；

方法1：构造X型相似

作CG⊥AD于点G，
易证：四边形AGCE是矩形，
∴AG=CE=2，CG=AE=6，
∴DG=AD-AG=4，FG=4-FD，
∵CG∥BD，
∴△BFD∼△CFG，
∴FD:FG=BD:CG，
∴FD:(4-FD)=2:6，
∴FD=1，
∴AF=AD-FD=5.

方法2：构造A型相似

延长BD、EC交于点G，
易证：四边形ADGE是正方形，
∴DG=AE=EG=6，
∴CG=EG-CE=4，
BG=BD+DG=8，
∵CG∥FD，
∴△BFD∼△BCG，
∴FD:CG=BD:BG，
∴FD:4=2:8，
∴FD=1，
∴AF=AD-FD=5.

解法分析(3)

第(1)(2)问类比迁移

将AD绕点A逆时针旋转90°至点E，
连接CE、DE，与(1)同理，
可证明：△BAD≅△CAE，
∴BD=CE，∠AEC=∠ADB，
∴∠AEC+∠ADG=∠ADB+∠ADG=180°,
∴∠G=180°-∠DAE=90°；

特殊角的三角函数值

在直角三角形BGC中，BC==2，
∴CG=BC·sin∠CBD=，BG=3；

勾股定理

设BD=CE=， 则DG=3-，EG=+，
在直角三角形DGE中，
DG+EG=DE=2AD，
∴(3-)+(+)=8+2，
∴(-1)(+-2)=0，
∴₁=1，₂=2-(舍去)；

锐角三角函数

作DF⊥BC于点F，
∴FD=BD·sin∠CBD=，BF=；
∴FC=BC-BF=，
由勾股定理得：DC=，
∴sin∠BCD==.

为什么舍去BD=2-？

无理数比较大小

当∠BAD=15°时，
∵∠ABD=75°，
∴∠BDA=90°，
∴BD=AB-AD=17-8，
∵(2-)=7-4<17-8，
∴当BD=2-时，∠BAD<15°，
与题意不符，舍去.

END

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