【2021江苏淮安27】【综合应用】【参数坐标与平行四边形】【函数模型求最值】

江苏卷

2021中考数学

2021江苏淮安27

如图，在平面直角坐标系中，二次函数=++的图象与轴交于点A(-3,0)和点B(5,0)，顶点为点D，动点M、Q在轴上(点M在点Q的左侧)，在轴下方作矩形MNPQ，其中MQ=3，MN=2．矩形MNPQ沿轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为(-6,0)，当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为秒(>0)．
(1)=     ，=     ．
(2)连接BD，求直线BD的函数表达式．
(3)在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H， 是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(4)连接PD，过点P作PD的垂线交轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长．

解法分析(1)

解方程组

将点A(-3,0)和点B(5,0)分别代入二次函数解析式中得:
-3+=0，+5+=0，
解得:=-，=-.

交点式*

由题意得:
二次函数的解析式为:
=++
=(+3)(-5)
=--，
∴=-，=-.

韦达定理*

由题意得:
方程++=0的根是-3或5，
∴-=2，=-15，
解得:=-，=-.

解法分析(2)

待定系数法

由(1)得:
二次函数的解析式为:
=--，
=(-1)-4，
∴点D的坐标为(1,-4)，
利用待定系数法即可求出:
直线BD的函数表达式为:
=-5.

解法分析(3)

参数坐标与平行四边形

设点M的坐标为(,0)，
∴-6≤≤5，
点Q的坐标为(+3,0)，
∴点G的坐标为(,--)，
点H的坐标为(+3,-2)，
当GM=HQ时，以G、M、H、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴|--|=|-2|，
①--=-2，
解得:=-1，=7(舍去)，
∴HQ=|-2|=3，
∴平行四边形的面积=3×3<10，
∴=-(-6)=5；
②--=-+2，
解得:=-1+2，=-1-2，
当=-1+2时，
HQ=|-2|=2-3，
∴平行四边形的面积=(2-3)×3<10，
∴=-(-6)=2+5；
当=-1-2时，
HQ=|-2|=2+3，
∴平行四边形的面积=(2+3)×3>10，
此种情况不符合题意，舍去；
∴当=5或2+5时，以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形.

动态演示

解法分析(4)

一线三直角→函数模型

由题意得:
点D的坐标为(1,-4)，
点P的坐标为(+3,-2)，
如图，构造一线三直角型相似，
∴SR=|+3|，
PT=2，TD=|+2|，
=，
设SP=，
∴=，
∴=，

分类讨论

①当-6≤≤-3时，
=
=(+)-，
∴当=-3时，=0，
当=-6时，=6，
∴点R从点(0,4)运动到点(0,-2)；

②当-3≤≤-2时，
=
=-(+)+，
∴当=-3或-2时，=0，
当=-时，=，
∴点R从点(0,-2)运动到点(0,-)，
再从(0,-)运动到点(0,-2)；

③当-2≤≤5时，
=
==(+)-，，
∴当=-2时，=0，
当=5时，=28，
∴点R从点(0,-2)运动到点(0,26)，
∴点R的运动路径长为:
4++26=.

动态演示

END

篇幅有限

思维无限

欢迎留言