【数学思维能力训练第20期】【一题多解】【几何综合】【线段的转化】

试题内容

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠CBE=45°，BE分别交AC、AD于点E、F，AF=BC.
求证：BF+EF=AE.

解法分析

BF的转化

根据“等腰三角形三线合一”可证：
AD垂直平分BC.
连接CF，由线段垂直平分线的性质，
证明：CF=BF，
进而证明：∠BCF=∠CBE=45°，
所以：∠BFC=∠EFC=90°.

AE的转化方法1
平行线+全等三角形
黄彦妮(4班)
任轩岩(16班)

过点C作AD的平行线交BE的延长线于点G，
易证：∠BCG=90°，
进而证明：△BCG是等腰直角三角形，
所以：GC=BC=AF，
根据AAS证明：△AEF≅△CEG，
所以：AE=CE，
在Rt△EFC中，
CF+EF=CE，
所以：BF+EF=AE.

证明四边形AFCG是平行四边形亦可.

AE的转化方法2
平行线+平行四边形
周思彤(4班)
孔祥瑞(15班)

过点A作BC的平行线交BE的延长线于点G，连接CG，
易证：∠FAG=90°，∠G=∠CBE=45°，
所以：△FAG是等腰直角三角形，
所以：AG=AF=BC，
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”
证明：四边形ABCG是平行四边形，
所以：AE=CE，
在Rt△EFC中，
CF+EF=CE，
所以：BF+EF=AE.

证明△AEG≅△CEB亦可.

AE的转化方法3
截长+全等三角形
王平(15班)

在BE上截取BG=EF，连接CG，
根据SAS证明△AEF≅△CGB，
所以：AE=CG，∠1=∠2，
根据等角的补角相等，
证明：∠3=∠4，
所以：CE=CG，
根据等腰三角形三线合一，
证明：EF=FG，
在Rt△CFG中，
CF+FG=CG，
所以：BF+EF=AE.

再思考

①延长CF交AB于点G，点G为AB的中点.
②点F是△ABC的重心，AF=2DF，BF=2EF.