【课本回归】【“垂径定理”的推论】

①经过圆心；
②垂直于弦；
③平分弦；
④平分劣弧；
⑤平分优弧.

垂径定理(①②⇒③④⑤)

若AB为圆O的直径，CD为圆O的弦，AB⊥CD于点E，则CE=DE，=，=.

推论1(①③⇒②④⑤)

若AB为圆O的直径，CD为圆O的弦(非直径)，AB经过CD的中点E，则AB⊥CD，=，=.

证明方法：三线合一
连接OC、OD.
∵OC=OD，点E是CD的中点，
∴OE⊥CD，即AB⊥CD，(等腰三角形三线合一)
∴=，=.(垂径定理)

推论2(①④⇒②③⑤)

若AB为圆O的直径，CD为圆O的弦，AB、CD交于点E，=，则AB⊥CD，CE=DE，=.

证明方法：三线合一
连接OC、OD.
∵=，
∴∠BOC=∠BOD，
又∵OC=OD，
∴OE⊥CD，即AB⊥CD，(等腰三角形三线合一)
∴CE=DE，=.(垂径定理)

推论3(①⑤⇒②③④)

若AB为圆O的直径，CD为圆O的弦，AB、CD交于点E，=，则AB⊥CD，CE=DE，=.

证明方法：三线合一
连接OC、OD.
∵=，
∴∠AOC=∠AOD，
∴∠BOC=∠BOD，
又∵OC=OD，
∴OE⊥CD，即AB⊥CD，(等腰三角形三线合一)
∴CE=DE，=.(垂径定理)

推论4(②③⇒①④⑤)

若AB、CD为圆O的弦，AB⊥CD于点E，CE=DE，则AB为圆O的直径，=，=.

证明方法：线段垂直平分线的判定定理
∵AB⊥CD于点E，CE=DE，
∴AB垂直平分线段CD，
连接OC、OD，
∵OC=OD，
∴点O在线段CD的垂直平分线上，
即：AB为圆O的直径.
又∵AB⊥CD，
∴=，=.(垂径定理)

推论5(②④⇒①③⑤)

若AB、CD为圆O的弦，AB⊥CD于点E，=，则AB为圆O的直径，CE=DE，=.

证明方法：三线合一
连接BC、BD，
∵=，
∴BC=BD，
又∵BE⊥CD于点E，
∴CE=DE，(等腰三角形三线合一)
与推论4同理，可证：
AB为圆O的直径.
又∵AB⊥CD，
∴=.(垂径定理)

推论6(②⑤⇒①③④)

若AB、CD为圆O的弦，AB⊥CD于点E，=，则AB为圆O的直径，CE=DE，=.

证明方法：三线合一
连接AC、AD，
∵=，
∴AC=AD，
又∵AE⊥CD于点E，
∴CE=DE，(等腰三角形三线合一)
与推论4同理，可证：
AB为圆O的直径.
又∵AB⊥CD，
∴=.(垂径定理)

推论7(③④⇒①②⑤)

若AB、CD为圆O的弦，两弦交于点E，CE=DE，=，则AB为圆O的直径，AB⊥CD，=.

证明方法：三线合一
连接BC、BD，
∵=，
∴BC=BD，
又∵CE=DE，
∴BE⊥CD，即AB⊥CD，
(等腰三角形三线合一)
与推论4同理，可证：
AB为圆O的直径.
又∵AB⊥CD，
∴=.(垂径定理)

推论8(③⑤⇒①②④)

若AB、CD为圆O的弦，两弦交于点E，CE=DE，=，则AB为圆O的直径，AB⊥CD，=.

证明方法：三线合一
连接AC、AD，
∵=，
∴AC=AD，
又∵CE=DE，
∴AE⊥CD，即AB⊥CD，
(等腰三角形三线合一)
与推论4同理，可证：
AB为圆O的直径.
又∵AB⊥CD，
∴=.(垂径定理)

推论9(④⑤⇒①②③)

若AB、CD为圆O的弦，两弦交于点E，=，=，则AB为圆O的直径，AB⊥CD，CE=DE.

证明方法：线段垂直平分线的判定定理
连接AC、AD、BC、BD，
∵=，=，
∴AC=AD，BC=BD，
∴点A、B在线段CD的垂直平分线上，
即：AB垂直平分CD，
∴AB⊥CD，CE=DE.
与推论4同理，可证：
AB为圆O的直径.