在一个阳光明媚的日子里,一场看似荒诞的比赛正在进行。挑战者是一只聪明的乌龟,而对手是希腊神话中以速度闻名的阿喀琉斯。听起来毫无悬念?
但事情没那么简单。
“你想和我比赛?”阿喀琉斯轻蔑地问道,“我是最快的,你却是公认的慢动物,这根本没有悬念。”
乌龟却不以为然:“那当然,但如果你让我先跑10米,我们的比赛可能会有趣得多...”
阿喀琉斯觉得无妨,便欣然同意。
比赛开始后,乌龟一边跑一边说道:“你要追上我,得先跑完我领先的这10米,对吧?
可是当你跑完10米时,我早就又向前爬了一米。
然后你还要追这一米,而这时我又爬到了更前方。这样下去,你永远也追不上我!”
这个看似荒谬的逻辑,让阿喀琉斯陷入了困惑。
但直觉告诉我们,怎么可能....他一定能追上乌龟。
问题是,乌龟貌似没有错,但它的数学推理错在哪里?
为了弄清问题,我们可以用数学建模来解析(如上图所示)。
假设阿喀琉斯的速度是乌龟的10倍,那么乌龟每爬行1米时,阿喀琉斯就能跑10米。
于是,阿喀琉斯需要1秒就能追上乌龟领先的10米,而在这1秒里,乌龟不过前进了1米。
随后阿喀琉斯只需0.1秒追上这一米,再用0.01秒追上下一段距离……如此循环下去,尽管时间间隔无限递减,总的时间是有限的,通过数学计算,准确的答案实际是10/9秒,也就是1.1111....秒。
乌龟的逻辑问题就在于对“无限”的误解,它是对这个理论数字的误解。
虽然这个过程看似无穷无尽,但每一步所需的时间越来越短,累加起来不过是有限值。
如果说乌龟与阿喀琉斯的比赛仅仅是个开胃菜,那么“希尔伯特酒店”的故事则为我们打开了通往无限悖论的奇幻之门。
想象一个拥有无限房间的酒店,每个房间都标着1、2、3……以此类推。
某天,这家酒店客满了——每个房间都住着客人。
但这时,又来了一个新客人。酒店经理灵机一动,命令每位住客搬到下一个房间:住在1号房的客人搬到2号房,2号房的客人搬到3号房,以此类推。
如此一来,1号房空了出来,新客人有了住处!
这还没完。
一辆载有100名乘客的大巴车到达了酒店。经理再次动用同样的方法:让每位住客搬到自己当前房间号加100的房间,腾出前100个房间给大巴上的乘客。
于是,每位新来的乘客也都妥善安顿。
一辆无限长的大巴车
问题逐渐升级。
一辆无限长的大巴车到达,每个座位都有一个编号:1、2、3……经理这次想了个新办法,把每位现有住客搬到房间号为他们当前房号的两倍的房间(即从n号房搬到2n号房),让所有奇数号房间腾空。
这样,大巴上的乘客就可以分别入住这些奇数号房间:1号座位的乘客入住1号房,2号座位的乘客入住3号房,以此类推。
然而,真正的挑战来自无穷的“层级”。
假如无数辆无限大巴车同时抵达,每辆车上也有无限多的乘客。
酒店经理依旧有办法:为每辆大巴分配一个质数,例如第1辆车分配质数3,第2辆车分配质数5,第3辆车分配质数7……再用这些质数的幂来分配房间号。
如此,所有乘客都能找到唯一的房间。
不过,并非所有无限都是可以这样安排的。
例如,如果某辆大巴上的乘客是以无限长小数(如0.111111…、0.121212…)编号的,那么即使酒店有无限房间,也无法容纳这些乘客。
这种无限被称为“不可数无限”,与前面提到的“可数无限”截然不同。
无限悖论不仅出现在空间安排中,也常常在概率与收益的计算中让人抓狂。
想象一个赌局:抛一枚硬币,如果第一次出现反面,你赢2美元;如果第一次是正面,接着再抛,直到出现反面,此时奖金翻倍。例如,第二次出现反面时,你赢4美元;第三次出现反面时,你赢8美元……这个游戏的预期收益是无限的!
然而,大多数人不会愿意支付高昂的费用来参与这个游戏。
为什么?
因为人类对收益的感知并非线性增长。
换句话说,赢得100美元确实让人兴奋,但如果已经拥有10000美元,再赢100美元的兴奋感会明显降低。
这种现象被称为“边际效用递减”,在数学上可以用对数函数(如ln)来衡量货币的实际价值。
尽管如此,圣彼得堡悖论依旧提醒我们,面对“无限”的收益预期时,人类的直觉往往会被复杂的数学概念所挑战。
总结:
从乌龟与阿喀琉斯到希尔伯特酒店,再到圣彼得堡悖论,我们一路探索了无限的奥秘。
无限可以是可数的,也可以是不可数的,它可以带来无穷的收益,也可能让人陷入悖论。
通过这些看似荒谬的故事,我们不禁感叹:无限不仅是一种数学概念,更是一扇通向思维深处的大门。无论是科学家、哲学家,还是普通人,每个人都能从中发现属于自己的奇妙旅程。
好,今天就先这样啦~
科学羊🐏 2024/11/28
祝幸福~
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