2019.06.20
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鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。原文如下：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”
解决这个问题的方法很多，可以有如下的方法：画图法、列表法、假设法、方程法、奇思妙想法等。这个问题也蕴含着丰富的数学思想方法：化归、枚举、数形结合、假设、方程、建模等。而且不同的解题方法与数学思想方法之间也有一定的对应关系。比如，枚举与列表法，数学结合与画图法，方程思想与列方程法。
今天，就来看看有哪些方法来解鸡兔同笼的问题。以这题为例：
现有一笼子，里面有鸡和兔子若干只，数一数，共有头14个，腿38条，聪明的小朋友，鸡和兔各有多少只？
列表法
首先介绍列表法，学生需要完整经历尝试、列表、比较、调整、发现的过程。
这里，列表法是解决此类问题的最朴实的方法，或者说是解决此类问题中的通性通法。教材以“鸡兔同笼”问题为载体，不要求学生一定用多种方法来解答，而是让每位学生从列举尝试开始，经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会到解决问题的一般策略。
| 兔的只数 | 鸡的只数 | 总脚数 | 和题意比较 |
| 0 | 14 | 28 | ✕ |
| 1 | 13 | 30 | ✕ |
| 2 | 12 | 32 | ✕ |
| 3 | 11 | 34 | ✕ |
| 4 | 10 | 36 | ✕ |
| 5 | 9 | 38 | ✓ |
上面的表格是按照有序的方法来进行思考的，在不断假设、验证、调整的过程中找到了最终的答案。当然还可以跳着列表，折中列表等方法都可以，比如，这题可以从兔7只，鸡7只来进行列表。这样会快速找对答案。
画图法
画图法也是低年级学生很好接受的一种方法，可以让数学变得形象化，有助于创造力的培养。
假设14只全部是鸡，先把鸡画好。
这样就有14×2=28条，差38-28=10条，而每一只鸡补2条腿就变成兔子，需要把5只鸡每只补2条腿，所以有5只兔子，14-5=9只鸡。
画图法比较直观，容易理解。但是局限性也比较大，当数字变大的时候就不容易解决问题。
假设法
假设全是鸡，14×2=28只脚，比实际上的38只脚少了10只，为什么会少呢？因为我们把兔子也看成了鸡了，每只兔子看成鸡会少2只脚，所以兔子有10÷2=5只。那么鸡有9只。
同理，我们也可以假设全部都是兔子。
假设全部是兔子，则有14×4=56条腿，比实际多56-38=18只，为什么会多呢？因为我们把鸡也看成了兔子了，每只鸡看成兔子会多2只脚，所以鸡有18÷2=9只。那么鸡有9只，兔子为14 - 9=5只。
这里的假设法，其实就是算术法。列式解答的好处就是数据再大也容易解决。有同学学习奥数时，会让记忆相关的公式，其实没有必要。这里关键是每一步算式的含义要理解。尤其是为什么脚的只数会多或少。另外兔子比鸡多两条腿的隐藏条件也要清楚。
方程法
到了高年级，我们慢慢从算术思维到方程思维了。利用方程解决问题的优越性，在解决这类难题上就显得明显了。
设鸡的数量为x只，则兔子有（14-x）只，有2x+4（14-x）=38，解出x=9，所以有鸡9只，兔子14-9=5只。
设兔子的数量为x只，则鸡有（14-x）只，有4x+2（14-x）=38.解得x=5，所以兔子有5只，鸡有14-5=9只。
当然到了中学，还可以设两个未知数，用二元一次方程组，则更为简单了。
设兔子的数量为x只，鸡的数量为y只。那么
x+y=14；4x+2y=38。从而解出x=5,y=9。
除了上面介绍的一些大家常见的方法，其实在解决鸡兔同笼问题时，还有很多有趣甚至是智慧的做法。这些方法虽然不是常用的方法，但的确很秒！让我们一起看看！
“金鸡独立”法
金鸡独立法：
让每只鸡都一只脚站立，每只兔都用两只后脚站立，那么地上的总脚数是原来的一半，即19只脚。
鸡的脚数与头数相同，而兔的脚数是兔的头数的2倍，显然这19只脚对应的肯定不都是鸡，如果都是鸡，那就有19个头了，所以肯定有兔子。
因此从19里减去头数14，剩下的就是兔的头数19－14=5只，鸡有14－5=9只。
其实这种经典解法，在《孙子算经》中古人就已经给出这样的方法了。
“吹哨”法
“吹哨”法：这个方法也叫“抬腿（脚）法”。
假设鸡和兔接受过特种部队训练，吹一声哨，它们抬起一只脚，还有38-14=24只腿在站着，再吹一声哨，它们又抬起一只脚，这时鸡都一屁股坐地上了，兔子还有两只脚立着。（或让每只动物抬两只脚，意思一样）
这时还有24-14=10只腿在站着，而这10只腿全部是兔子的，所以兔子有10÷2=5只，鸡有14-5=9只。
“安脚”法
安脚法：
如果给每只鸡都安上2只假脚，那么每只鸡和每只兔都有4只脚。那么 14×4－38=18(只)，就是多了18只假脚。显然假脚都是鸡的。所以，18÷2=9(只)鸡。
“砍脚”法
砍脚法：
如果给每只兔都砍去2只脚，那么每只鸡和每只兔都有2只脚。那么38－14×2=10(只)，这样就少了10只脚，显然少的是兔子被砍的脚。10÷2=5(只)兔。
……类似的还有“装头法”、“捆绑法”、“平均法”等都是类似的方法，其实本质上还是假设法。
另外，鸡兔同笼问题甚至还可以用几何直观的方法，把它变成一个求图形面积的方法。诸如此类的方法，如果一一列举，能用几十种，其实很多方法本质是一样的。对于学生来说，也没有必要都知道。
其实，上面提到的许多方法，实质都是“假设”，都是进行假设尝试的一种手段。而鸡兔同笼问题作为经典的数学问题，从显性知识来说没有多大意义，因为生活中就不会出现。但在解决这个问题中列表法的有序思考，假设法的合理推理性，一题多解的思路等，都会对学生的思维起到促进提高的作用。
掌握“鸡兔同笼”问题的基本方法，经过适当的转化与迁移，可以解决更多广泛的数学问题。这里的“化归思想”、“建模思想”都是有利于向学生渗透的数学思想。
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