2019.07.06
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同学们，我们已经学习了加、减、乘、除四则运算，并能熟练运用这些运算的性质和规律解决许多数学问题。但是随着计算机技术的普及与应用，人们常常需要设计一些新的计算程序，按新的要求给某些特殊符号赋予新的运算法则，我们称之为新定义运算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，常见的如▼、◎、★、∇、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义。解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
关于新定义运算的题型多，变化形式也多样。这里刘老师只介绍一些简单的题型，供大家学习。
题型一：直接运算型
例1：规定a※b=3×a+2×b,计算：（1）4※3；（2）3※4
分析：解这类题目的关键就是抓住定义的本质，理解新定义的含义。
本题规定的新运算的本质：用※前面的数的3倍，加上※后面数的2倍。
解答：（1）4※3，这里的4就对应定义中的a；3对应定义中的b。所以4※3=3×4+2×3=18
（2）类似，3※4=3×3+2×4=17
思考：观察（1）和（2）的结果，这个新定义运算满足交换律吗？
结论：首先，分析新定义的关系式，将字母换成具体的数，再按照四则运算的运算法则进行计算。从前面（1）和（2）结果看到，定义新运算在没有转化成四则运算前，不一定适合运算定律和运算性质。
例2：定义新运算a▼b=（a+b）÷2，计算（7▼13）▼10
分析：本题含有两步计算，解答本题关键有两点：
一是抓住定义本质；二是在定义新运算中，同样规定了有括号的算式里，要先算括号里面的，后算括号外面的。
解答：观察（7▼13）▼10，其实分为两步，先算括号里的7▼13=（7+13）÷2=20÷2=10；
再算10▼10=（10+10）÷2=10。
结论：和四则运算一样，定义新运算中，有括号的要先算括号里面的值，再算括号外面的值；没有括号的，按从左到右的顺序进行计算。
题型二：反解未知数型
例3：对于任意的自然数a、b；如果a◉b=（a-2）×b，已知x◉5=20；那么x等于几？
分析：先要了解定义的本质，这里的x◉5中的x相当于定义中的a；5相当于定义中的b；20是最终的结果，目的是要求出未知数x。
解答：根据题目意思，x◉5=（x-2）×5；现在题目就变成
（x-2）×5=20，求这里的x。x=20÷5+2=6。
当然算完后，还可以代入检验。
6◉5=（6-2）×5=20，结果正确!
前面的两种题型，可以看看下面的视频！
题型三：一题多种定义
例4：规定一种运算是A▼B=A÷5+B÷2;另一种运算是A▲B=5×A+2×B。求50▼80-2▲9。
分析：本题规定了两种定义新运算，解答此题的关键：分清两种定义新运算的符号，理解各自规定的本质。然后将两种运算转化成统一的四则运算，最后再算出结果。
解答：这里的两个定义符号“▼”和“▲”，规定的运算是不一样的。
50▼80=50÷5+80÷2=10+40=50；
2▲9=5×2+2×9=10+18=28；
50▼80-2▲9=50-28=22.
结论：规定了两种（甚至更多）不同定义的新运算，解题的关键是分清两种定义的本质，按照各自的规定进行计算。
题型四：观察规律型
例5：有一个数学运算符号☆，使下面式子成立：
2☆4=8；5☆3=13；3☆5=11；9☆7=25；求7☆3的值。
分析：这种类型的新定义运算难在没有直接给出具体的运算规则，而是给了几个例子，从例子中结合数据特点，观察四个算式，发现规律，确定新运算方式。
解答：这四个已知的算式的规则应该一样。
2☆4=2×2+4=8；
5☆3=5×2+3=13；
3☆5=3×2+5=11；
9☆7=9×2+7=25；
找到规律：
a☆b=a×2+b；
所以，7☆3=7×2+3=17；
题型五：多条件定义
例6：规定新运算★为：若a>b，则a★b=a+b；若a=b，则a★b=a-b+1；若a<b，则a★b=a×b。那么，（2★3）+（4★4）+（7★5）=______________。
分析：这里的新运算虽然符号是一样的，但是a、b的值大小不同时，其运算规律是不同的。所以需要先判断再计算。
2<3,选择第3个规则；2★3=2×3=6；
4=4,选择第2个规则；4★4=4-4+1=1；
7>5,选择第1个规则；7★5=7+5=12；
所以，（2★3）+（4★4）+（7★5）=6+1+12=19
题型六：多角度定义
例7：a表示顺时针旋转90°，b表示顺时针旋转180°，c表示逆时针旋转90°，d表示不转动。定义运算“★”表示“接着做”。求：a★b;b★c;c★a。
分析：这里的符号★，定义运算为“接着做”。以a★b为例，就是先按a的要求做，再按b的要求做。
解答：（1）a★b：
表示先顺时针旋转90°；再顺时针旋转180°，等于顺时针旋转270°，也等于逆时针旋转90°，所以a★b=c。
（2）b★c：
表示先顺时针旋转180°；再逆时针旋转90°，等于顺时针旋转90°，所以b★c=a。
（3）c★a：
表示先逆时针旋转90°；再顺时针旋转90°，等于没转动，所以c★a=d。
接下来，我们一起看看一些杯赛的真题。新定义运算的题目在杯赛中也是“常客”。可以自己尝试完成，看看是否都能掌握解决！
第七届“小机灵杯”四年级组复赛题选：
1.如果a★b表示a×b-b，例如2★5=2×5-5=5，那么当（x★2）★1=3时，x=____________。
2.a▲b=3a+2b,a▼b=3a-2b,又知7▲W▼9=93，那么W=_____________。
14年“春蕾杯”全国小学生思维邀请赛四年级组初赛：
6、设a∆b=a×b+a-b，5∆8=____________。
第十二届“小机灵杯”四年级组初赛：
6、对于两个数a和b，规定一种新运算，a∆b=3×a+2×b,a∇b=2×a+3×b,那么3∆（2∇1）=_____________。
第十四届“小机灵杯”数学竞赛四年级组初赛
1、我们规定a★b=a×a-b×b,那么3★2+4★3+5★4+……+20★19=__________。
第十五届“中环杯”四年级选拔赛
2、定义新运算：A⊕B=A2+B2，A❆B=A除以B的余数，则（2013⊕2014）❆10=______________。
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