2020.08.17
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在学习面积的时候，一般会遇到两种图形：规则图形和不规则图形。对于规则图形，我们总是推导出公式，如长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形甚至圆；对于不规则图形，一般采用割补等手段转化成规则图形，再用公式计算。但是，有些图形没有办法转化，往往采用近似计算。
近似求面积的方法有很多种，利用方格纸是很普通的一种。比如，把一张透明的、每小格都是1×1正方形的方格纸覆盖在不规则图形（如下图）上，数一数图形内部有几个完整的小方格，再数出不完整的小方格。
除数方格的方法，由于这个不规则图形可以近似地看成一个三角形，通过计算三角形的面积也可以进行估算。
今天，我们就来说说方格纸上多边形的面积计算方法。
一张方格纸（1×1）上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点,我们又叫格点为整点。
如果一个多边形的顶点都是格点，那么这个多边形称为格点多边形。
接着上文，用方格纸进行图形面积近似计算的关键是计算格点多边形的面积。所以用数格子的方法计算格点多边形的面积，进而近似计算不规则图形面积。
数格子：内部完整方格：9个；不完整的有12个，折合成6个，一共9+6=15个。
其实，在计算格点多边形面积时，割补法可谓大有作为。
最简单的格点多边形就是三角形和长方形。在方格纸（方格纸是1×1的正方形）上，长方形面积=长×宽，三角形的面积=底×高÷2。以下图为例，锐角、直角、钝角三角形的面积可以直接计算。
既然有三角形、长方形等图形做基础，其它格点多边形都可以用割补法转化成长方形、三角形解决。那就看开篇第一幅图：
格点四边形的面积=长方形面积减去三个三角形面积
当然，也可以将这个格点四边形分割成几个三角形和长方形，分别求出面积再相加。（当然这个割法不唯一）
还有别的方法吗？比如，能不能数格点而不是数给子来计算面积？
格点分为两种：一种是图形内部的格点，一种是图形边界上的格点。
那格点多边形的面积似乎和内部或外部的格点数有关，具体什么关系？
猜想1：内部格点数越多，格点多边形的面积越大。
猜想2：边界格点数越多，面积越大。
这两个猜想都可以找到反例证明猜想是错的。如此看来
格点多边形的面积既和内部格点数有关，又和边界上的格点数有关。有个公式揭示这种关系：
格点多边形的面积=内部格点数+边界格点数÷2－1
这里的具体猜想及归纳推理，可以通过一组图形去观察、发现、猜想和不完全归纳推理。可以从内部格点数0、1、2……一点点思考，进行“大胆猜想、小心求证”。具体的演绎证明不再进行详细展开（可上网查询）。
这个定理很神奇，定理的表达式也具有数学的简洁美。但要注意，皮克定理是在横竖两格点之间的距离为1的情况下得出的。
用皮克定理计算格点多边形的面积就方便多了。我们自己可以从基本图形和复杂图形开始验证一下。
验证一下例题：a=12，b=8
S=a+b÷2－1=12+8÷2－1=15
这和割补法的答案一样。再举两个例子验证一下：
左边这个图形是个正方形，割补法或直接求都可得到面积是5.右边这个格点多边形就复杂一点，但通过割补法也可完成，面积也是21。
所以，求格点多边形面积的方法：数方格法、割补法和皮克定理。皮克定理还可以拓展推广，不是正方形的格子，如果变成三角形的格子（如下图），还能够用这个公式进行求多边形面积吗？可以自己先思考一下。
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