2021.03.03
日
一
二
三
四
五
六
今天听课的时候，发现老师们正在上商不变性质的内容，在校本中有这样一道判断题：
14000÷4000=14÷4=3…… 2
那这道题到底对不对呢？看到学生和老师都有一些疑问。
有的同学认为是正确的，14000÷4000=14÷4，14÷4=3…… 2；所以结果是正确的。
也有同学认为是错误的，14000÷4000=3…… 2，简单验证一下就是错的。正确的结果应该为14000÷4000=3…… 2000。
要想弄清楚这个问题，显然要对商不变性质有更清楚的认识。
书本中虽然叫商不变性质，是指被除数、除数发生一定变化，商不变的规律。
其实，《数学辞海》中商的变化规律，是指商随着被除数或除数的变化而变化。这里包含了四种情况：
A.被除数、除数都变化；
B.被除数扩大或缩小若干倍，除数不变，商的变化；
C.被除数不变，除数扩大或缩小若干倍，商的变化：
D.在带余数的除法中，被除数、除数发生同样的变化，不完全商不变，余数发生同样的变化。
书本中“商不变性质”显然属于A这种情况，即是在整除情况下探究出的规律，这个前提条件教师或学生容易忽视。
所以，在学生遇到48000÷1200这样的算式时，就会直接把0划掉，其实就是利用商不变的性质。
但在带有余数除法的时候，结论上就会有所不同。就是上面D这种情况。
14÷4=3…… 2，这是一道带有余数的除法算式。一个整数除以另一个不为0的整数，得到整数商后还有余数，这样的除法，就叫做“带余除法”。
在现代教学中，已知两个整数a、b（b≠0），要求这样的两个整数q、r,使得q、r满足：a=bq+r,0<r<b，这样的运算叫做有余数的除法，也叫作带余除法。通常写作：a÷b =q……r，或a÷b =q（余r）。读作“a除以b等于q余r”。a叫做被除数，b叫做除数，求得的整数q叫做不完全商（也可以简称商），r叫做余数。
“带余除法”是定义在自然数集上的一种运算。只要除数不为0，不完全商和余数都存在，并且都是唯一的；而“除法”不仅适用于整数，也适用于分数、小数和和无理数。只要除数不为0，商就必然存在，并且是唯一的。
值得注意的是，除法与带余除法，它们的关系，不是属种关系，不能说“带余除法是除法的特例”，也不能说“除法是带余除法中当r=0时的特例”。
有学生提出既然14000÷4000=3…… 2000；14÷4=3…… 2
那么14000÷4000=14÷4应该是错的。
事实上，这里的写法是没有问题的，它们的结果都是3又1/2（或3.5）。显然结果是一样的。
部分教师或学生会被余数所干扰，认为两者余数不同。为什么余数会变呢？就是因为上面两个式子没有完全除完，造成剩余部分的不等，若我们继续除下去，就会得到同样的结果。
换句话说，这里的商属于“不完全商”，对于小学生而言，教师不必告诉学生这叫“不完全商”。在学习“小数除法”以及“分数与除法的关系”等之前，教师可以告诉学生：因为我们目前所学的数学内容的限制，我们只能算到“商3”，不能够继续除下去了。余数“2”“2000”暂时寄放在旁边，等到学习了新知识，水平提高了，就会继续用余数“2”“2000”除以除数“4”“4000”，得到最终的结果。
又有同学疑问，14000÷4000=14÷4是正确的；14÷4=3…… 2也是正确的，那等量代换一下，这个连等式子应该是成立的。
那先来看看等量公理，等量公理一共有五条：
1、等量加等量，和相等；
2、等量减等量，差相等；
3、等量的同倍量相等；
4、等量的同分量相等；
5、在等式中，一个量可以用它的等量来代替（简称“等量代换”：a=b,b=c,那么a=c）。
那根据上面的等量公理5，即通常所说的等式具有传递性。统一计量单位后，“相等的量”就表现为“相等的数”。那么上面连等应该正确的呀。
其实，在14÷4=3……2中，“3……2”（商3余2）并不表示一个确定的数。实质上，它只给出了商的整数部分与分数部分的分子，分数部分的分母则是等号另一边的除数。
当“3……2”即
要进一步认识的是，在a÷b =q……r或a÷b =q（余r）中，这里用等号连接，等号左边是一个算式（其结果可以用一个数表示），等号右边不能认定它是一个确定的数，只是表示结果的一种方式。
为了说的更清楚，看两个例子：
例子1：
14÷4=3…… 2；17÷5=3…… 2
等号右边都是“3……2”，等号左边的两个式子，含义是不同的，其结果如果用确定的数表示，一个是3.5（3又2/4），一个是3.4（3又2/5）。显然这里不能用等量代换。
例2：连除问题
这个题目应该答案是一样的，为什么结果会不同呢？
难道除法的运算性质只能在整除时才可以应用？
其实这三种方法的得数都是相同的，这里的得数值得是它们的商即完全商。三种方法的结果都是2又2/3。
看似结果不同，就是第一题除数3，余数2；第二题除数12，余数8；第三题除数36，余数24。它们的商如果化简得到最简分数就是一样了。
在除法中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
在有余数的除法中，如果被除数和除数同时乘或除以一个相同的数，商（这里的商，指不完全商）不变，而余数也随着发生相同的变化（即同时乘或除以这个数）。
所以，14÷4=3…… 2
14000÷4000=3…… 2000
14000÷4000=14÷4都是正确的。
这也是学生容易犯错的地方，当有余数的时候，会错误运用商不变性质，进而产生开篇的问题。
甚至直接写14000÷4000=3…… 2.（直接划掉0,）
由此可见，原来的判断题应该是错的。
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