关于理解PID控制算法最典型的一个例子就是一个漏水的水缸的问题。网上有很多讲解PID的帖子会讲到这个例子。这里我也把我自己对于PID的理解用这个例子阐述一遍。
有个漏水的水缸，而且漏水的速度还不是恒定的。然后我们还有个水桶，我们可以控制往水缸里面加水或者从水缸里面舀水出来。另外我们可以检测水平面。现在我们的目的就是要控制水平面稳定在我们想要的任何一个平面上。
注意我们使用PID需要在一个闭环系统里面。什么叫闭环系统，就是有输入有反馈，输入就是能输入一个量去影响和控制我们的系统，反馈就是我们要能知道我们最终控制的东西的状态。在这个漏水的水缸系统中，输入就是这个水桶，我们能通过水桶往水缸里面加水或者从水缸里面舀水出来来影响我们水缸的水平面，反馈的话也就是说我们要能测量水平面，知道水平面是多少。控制系统原理图如下：
我们来看看公式：
其中Kp为比例系数，Ti为积分时间常量，Td为积分时间常量。
首先是比例控制。比例控制就好比是通过水桶往水缸加水或者从水缸舀水。假设我们需要把预期把水平面稳定在A平面，而实际水平面在B平面，那么水平面差值Err=A-B，那这个时候我们需要往里面加水的量就是Kp*Err，Kp就是我们的比例控制系数。如果A>B，Err为正，就往水缸里面加水；如果A<B，Err为负，就从水缸里面舀水出来。那么只要预期水平面和实际水平面有差值，我们都会通过水桶去加减水来调整系统。这里也许有人会有疑问，如果这里把比例控制系数Kp直接设置成1，然后加水的量直接为Err=A-B不就可以了。然而实际上很多系统是做不到这点的。比如温度控制系统，实际温度为10度，我要通过加热把温度提升到40度，这里难道我们能一次性准确的给系统加30度？显然这是做不到的。那么比例控制的最终结果是Err的值趋向于0。比例控制部分公式如下图：
然后我们先看看微分控制。在我们的比例控制的作用下，Err是开始减小的（假设一开始预期水平面A大于实际水平面B，也就是说Err是一个正值），那么也就是说Err随时间是一条斜率小于0的曲线，那么在周期时间内，Err越大，微分的绝对值越大，那么也就对Err的减小速度是起到抑制的作用的，直到最后斜率为0微分才会停止作用。微分公式如下：
那么随着微分的影响，Err曲线的斜率最终是趋向于0的，如下图：
积分控制部分的作用主要是用来消除静差。那么积分是怎样来消除静差的呢？我们知道曲线的积分相当于曲线与x轴围出来的面积。比例控制只能尽量将Err调节到0，但是会存在这样那样的误差。而微分的作用是将曲线的斜率控制到0则停止对其作用，但斜率为0的时候Err并不一定为0。这个时候我们就需要积分来起作用了。如下图，积分作用的目的是使红色部分的面积和蓝色部分的面积的和为0，那么即使系统在比例控制和微分控制部分已经趋于稳定，只要Err不为0就会存在静差，只要存在静差那么积分就会对系统产生影响，直到系统的Err值为0。那么这样我们的PID控制在理论上就可以达到一个非常精确的控制效果。
来看看我们的积分公式部分：
假设采样时间间隔为T，则在k时刻：
偏差为e(k);
积分为e(k)+e(k-1)+e(k-2)+...+e(0);
微分为(e(k)-e(k-1))/T;
从而公式离散化后如下：
比例系数：Kp，
积分系数：Kp*T/Ti，可以用Ki表示；
微分系数：Kp*Td/T，可以用Kd表示；
则公式可以写成如下形式：
PID算法的离散形式就是这样了，这就是我们平时说的位置式PID。
接下来我们继续推算增量式PID，根据上面公式我们可以求得：
上式就是增量式PID的表现形式，计算出来的增量只跟最近三次的偏差值有关。注意这里计算出来的是增量值，也就是说如果我们要求u(k)的话应该是
那么PID的离散化就长不多是这样了，接下来我们看看PID的程序实现。
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