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熵力
 

熵力


定义
 

Erik Verlinde的定义:
  小质量物体朝着大质量物体运动的倾向与热力学运动非常类似。这种效应可以看作是有一股净力将两个质量体拉到一起。物理学家把这种力量叫做熵力。
  李淼的解说:
  我们先看一下一个气体,气体由分子或原子组成。每个分子本身并不带有压强,但是,对于包含这个气体的墙壁来说,每当一个分子撞到墙上反弹,墙壁感受到一个冲量,当我们将所有分子给予墙壁的冲量加起来,就产生了压强。所以,压强是一种宏观量。压强也是一种熵力。当我们缓慢地移动墙壁时(例如燃烧室的活塞),气体的熵会改变,根据能量守恒原理,熵的改变率乘以温度,就是压强了,熵力就是熵改变引起的力。通常,力的方向与熵增大的方向一致。因为普通的气体的体积越大,熵越大,所以压强是一种倾向于增大体积的力。
  在统计物理中,我们有时并不需要具体存在的墙壁就能定义压强。我们可以想象一个平面,分子不停地通过这个平面,压强是分子通过平面时带走的动量。从这个定义来看,压强的确与分子之间的微观力毫无联系,是纯粹的宏观力,纯粹的熵力。
  熵力另一个具体的例子是弹性力。一根弹簧的力,就是熵力,胡克定律就是熵力的体现。一个更好的例子是高分子的弹性力,假定组成高分子的单体与单体之间不存在任何力,那么高分子的弹性力完全由熵的改成引起,高分子的弹性力趋向于使得高分子蜷曲,因为蜷曲的高分子的熵更大。
  这样,我们就可以定义熵力了。熵力不是主要由物体的微观组分之间的力引起的,而是由物体的熵的改成引起的。

Verlinde的熵力是什么
 
  这里就需要用到全息原理了。在Verlinde看来,描述一个空间最初的系统不是这个空间以及存在于这个空间中的物体,而是包围这个空间的曲面。在这个曲面上,有一个微观系统,局部处于平衡态,所以曲面的每个局部都有一些自由度以及被这些自由度携带的熵。当一个试验粒子在外部接近这个曲面时,曲面上的自由度受到这个试验粒子的影响从而熵起了变化。当这个粒子完全融入曲面时,我们认为这个粒子本身也可以由曲面上的自由度描述了。学过一些热力学或统计物理的人知道,当一个系统的能量增大时,熵通常也增大,所以粒子融入曲面后曲面上的熵增大了。通过能量守恒我们得知,熵增对应的熵力是吸引力,即粒子总被曲面包围的空间部分吸引。我们看到,热力学的后果就是万有引力!Verlinde向我们展示,牛顿的万有引力公式以及爱因斯坦理论都可以通过统计物理加全息原理推导出来。

熵力:万有引力的新方向

  Verlinde利用全息原则研究一个小质量物体与一个质量稍大的物体相隔一定距离时到底会发生什么情况,例如一颗恒星或一颗行星。把质量小的物体移开一点,他说,意味着改变了信息内容,或两个质量体间的假想全息表面的熵(平均信息量)。这种信息变化与系统的能量变化有关。然后,利用统计数据研究小质量物体所有可能的运动和相关能量变化,Verlinde认为,小质量物体朝着大质量物体运动的倾向与热力学运动非常类似。这种效应可以看作是有一股净力将两个质量体拉到一起。物理学家把这种力量叫做熵力,因为它产生于信息内容变化最多的时刻。这种说法仍然没有直接提到万有引力。但是,加上全息表面信息内容的基本公式,它的能源含量和爱因斯坦的质能方程直接推导出了牛顿的万有引力定律。相对论版本只是前进了几小步,但是更容易溯源。这一理论似乎同样适用于苹果和行星。 “如果重温一遍牛顿定律会发现这是一个非常幸运的巧合。”Verlinde说,“相对论概论显示,它比那些只在乎方程式对错的问题要深奥得多。”
  Verlinde的想法已获得了一些物理学家的好评。阿姆斯特丹大学的著名数学物理学家罗贝特•捷格拉夫赞赏了Verlinde的理念。他说:“令人吃惊的是,之间从来没有人提出这一想法,它看上去很简单,但是非常说服力的。”评审团仍在寻求其他的解释。有人认为,韦尔兰德在他的方程式中使用了循环论证法,“出发点”就是万有引力。另外一些人则对这种方法几乎完全抛弃了数学表示疑虑,因为它的理论基础只是一些非常笼统的空间、时间和信息的概念。马萨诸塞州沃尔瑟姆布兰代斯大学的斯坦利•德塞尔说韦尔兰德的工作前景光明,但它是“一个爆炸性事件,要彻底了解它的来龙去脉需要很多时间,而且这个理论对牛顿、胡克和爱因斯坦制订的金科玉律提出了质疑和挑战。”
  Verlinde强调,这只是第一篇关于该项目的论文。 “它甚至算不上一种理论,只是提出了一个新的范例或框架的建议,”他说,“艰巨的工作还在后面。”
 
 
 
 

熵力

口号“引力就是熵力”的确很吸引人,我看了Verlinde的文章后就知道在一段时间内,会有不少人谈论,也会有不少人跟上。

(先评论一下Motl在他的博客上用中子干涉实验否定Verlinde假设的“论证”。这个论证假定测量中子干涉的两个狭缝相距一米,所以根据离全息屏的远近,中子通过不同狭缝时对应的微观态数相差巨大,这样干涉不可能发生。Motl不做研究几年思维退化得不是一点半点。这个论证出了两个错。第一个错是微观态数是全息屏上的微观态数,不是在全息屏之外的中子状态数。第二,即使一个系统的宏观态可以对应于很多微观态(如炙热的煤球),但系统在固定时刻总是处于一个固定的微观态中,因为我们偷懒才用粗粒化的办法不去追求微观态。在Verlinde的图像中,中子只不过类似声子,当然可以处于一个固定的微观态中。下面回到正文)

Verlinde没有给出细节,只给出一些关键的想法,这样,很多人就可以自由发挥了。已经出现的文章有不少是自由发挥的,这当然也包括我和王一的文章:

Quantum UV/IR Relations and Holographic Dark Energy from Entropic Force

我本来打算在Verlinde的框架下讨论全息暗能量的,因为我现在对这个模型信心大增(主要是在计算了Casimir energy之后)。王一来信,谈到一些想法,我们就自然合作了。

我本来不打算很快写文章的,因为我知道文章写得越慢越有内容(Verlinde本人的文章就写了半年),而且,过去也出现过跟风的情况,我也批评过。这次例外,因为我感觉找到了全息暗能量在Verlinde框架下的线索。

何况,我们还推导了Cohen等人的UV/IR关心,Hogan的测不准关系。

Cohen等人的UV/IR关系表述很简单。在有引力的情形下,红外截断限制了紫外截断,两者的关系是

这个关系,在Verlinde的框架下很容易理解。考虑两个全息屏,一个半径为

,另一个半径为
,根据Verlinde的公式

其中S是系统的熵,N是全息屏上用来描述系统的bits数,

推得

现在,假定在i屏上的紫外截断是

,紫外截断的含义是我们只考虑最小的面积元
,这个面积元内有一个bit,所以有
。由上式推得

所以

为了量纲正确起见,我们引进了

,这也是系统中唯一与宏观尺度无关的量(原则也许存在第二个微观尺度,所以这个推导不能决定UV/IR关系中的系数)。

为了“推导”全息暗能量,我们必须引入全息屏之外的第二个屏。原因很简单,暗能量对应的Tolman-Komar能量总是负的,如果只有全息屏,我们必须引入负温度!那么,第二个屏是什么?最自然的就是事件视界了。

另外,一直以来我比较倾向Banks的说法,事件视界应该是一个宇宙学的前提,因为它决定了系统的大小(自由度个数)。在Verlinde的框架内,事件视界是全息屏的上限。如果我们想将空间看成宏观导出概念,那么我们最初是从和事件视界一样大小的全息屏开始的。

我们的文章是昨天出现的,今天又出现了三篇中国人写的文章,我就不介绍了。反正,这次中国人又跟在了前面,是好是坏,只有时间能判断。

因为我自己介入了,我就不批花车效应了。但是我重复12日在理论所报告时说的话,起初,一些文章可能有60%是错误的。

昨天看到Verlinde自己给的一个荷兰语的一个关于Erik Verlinde工作的简短视频

今天网上出现了WMAP七年结果的系列文章,并没有什么令人兴奋的结果。我们通常关心的是这两篇文章:

Seven-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Cosmological Interpretation

Seven-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Are There Cosmic Microwave Background Anomalies?

另外,李惕碚老师和刘浩也有一篇值得关注的文章

Inconsistency between WMAP data and released map

总的说来,研究引力和宇宙学的同学们又可以忙乎起来了。

 
 
 
 
全息引力
- [且来悟理]

http://xyzhongzhi.blogbus.com/logs/60463186.html


自然界有四种基本相互作用。这是现代物理中惯常的说法。在这四种相互作用中,引力(gravity)无疑是最早为人所知的一种。牛顿的万有引力定律在今天已成为人所共知的规律。然而在目前看来,引力也是四种基本相互作用中最令人费解的一种。

其实说费解倒也未必,因为我们对引力并非一无所知。实际上,我们有广义相对论。这个描写引力的理论从理论结构到实验验证无疑都很成功,近乎完美。

既然如此,我们仍然认为引力难于理解,就必然另有原因。我以为这个原因来自引力独特的个性。与其它三种相互作用相比,引力显得非常与众不同。如果你下意识地认为四种相互作用应当在某种程度上被统一(亦即可由单一的理论来解释),那么这种与众不同就显然难以理解了。

引力最突出的特征在于,它作用于所有的物质。如果观察其余三种相互作用,我们就会发现,每一种相互作用都只对带有相应“荷”的一类物质起作用。比如,只有带电荷的物质间才会有电磁作用。而引力则不同,它与所有具有能量的物质发生作用。所以或许可以等效地说,能量就是引力的荷。

既然如此,也许引力与其余三种相互作用确有不同的起源。广义相对论将它的起源归结于时空的几何。这个观察来自等效原理,简言之即惯性质量和引力质量相等。如果确实如此,那么只需要牛顿定律,你就会发现,在引力作用下的质点的运动方程与它的质量无关,或者说与物理的动力学无关,从而变成了一个纯几何的方程。等效原理在这里所起的作用十分关键,所以它的正确性自然就很重要。这就是为什么自伽利略扔铁球以后的几百年里,人们还在不断地重复类似的实验而只是为了提高精度。的确,等效原理在目前已被验证到了极高的精度,大致在十个量级以上。

不过可惜的是,这些验证都是宏观的实验。因为引力实在太微弱,所以在微观领域极难被观察到。事实上,目前还没有实验能在毫米尺度以下观察引力的效应。相对于高能物理中的其他相互作用而言,这个尺度显然是非常大的。说得严重一些,我们根本没有在毫米以下的尺度观察到引力,所以没有任何直接证据表明等效原理以及广义相对论在这个尺度下仍然成立。

这为理论家让出了空间。既然引力的微观规律完全未知,那么不妨假设它是衍生的(emerge)。也就是,在微观领域并不存在什么万有引力——它只是另一种微观物理在宏观条件下所显示的现象。正如压强:你无法谈论一颗气体分子的压强是多少,因为压强是大量气体颗粒的集体行为。

物理学家在“衍生”的引力方面做出了各种尝试。花样翻新,一年一度。如果说去年的热点是Horova在一月份提出的“相变”引力(见此前的一篇日志【切除时间】),则今年的热点就是Verlinde同样在一月份提出的“熵力”。

简单地声称引力是衍生现象自然是没有根据的——我们得有一个可作为指导性的原则,或假设,方可作此断言。这就如同声称引力是几何效应需要以等效原理为前提。

Einstein的相对论基于等效原理,而Verlinde提出的“熵力”则基于全息原理。

 

与等效原理不同的是,全息原理到目前为止不仅没有实验验证,甚至在理论上也是不完全的。人们并不清楚如何一般而精确地表述它。大体上,这个原理是说,一团空间内的物理可以由其边界上的过程所描述。

关于全息原理,物理学家的灵感来源于黑洞。根据Bekenstein的著名结果,黑洞有熵,且其大小正比于黑洞视界的面积。如所周知,熵这个物理量记录了物质所含状态数(或者信息量)的多少。黑洞具有非零的熵,意味着它具有大量的微观状态数。此熵又正比于视界的面积,这个事实暗示我们,黑洞的微观状态都被记录在了它的边界上。

由此我们可以推断出另一个有趣的事实,即一团空间内所能包含的最大熵,或者说,这团空间所能记录的信息量,存在上限。对于一团球形的空间,这个上限恰好是以其边界为视界的黑洞的熵。(这个推导很简单,请见此前的一篇日志【不确定性原理的毁灭?】。)瞧,空间所含的信息量由其边界所控制,可见全息的概念不止出现在黑洞中。

一定体积的空间所包含的信息量有限,这与量子场论直接矛盾。因为通常的场论是一个定域的理论,它假设时空是连续的,从而可以谈论“点”的概念。在场论中,原则上可以将物理对象局限于任意小的区域内,从而一团空间所能承载的信息量原则上可以任意大。

这里之所以出现了矛盾,乃是由于连续时空的假设是一种近似。场论通常所涉及的尺度比时空涨落的尺度大了许多,因此对这种涨落并不敏感。这很好理解:比如,我们通常可以认为固体中的声波是连续的弹性波,这是因为此时的声波波长远大于晶格的大小。但是如果振动模式的波长与晶格的尺度相当,则连续波的近似就不再成立。在固体物理中,计算固体比热的Debye方法就用到了连续波近似,结果遇到发散。发散的原因是此近似在高频区(短波长)不再成立,所以需要截去高频区的贡献,以得到一个有限的结果。与之完全相同,量子场论中屡屡出现的发散,也可以被解释成高能区(小尺度)下场论的连续时空假设完全失效的结果。

全息原理与量子场论的矛盾,显示出引力更为独特的个性。它暗示我们,可能某些大尺度下的引力效应,也根本无法用场论描述。此时需要另一套与场论完全不同的方案,比如弦论。或者是Verlinde提出的熵力。Verlinde指出,若从全息原理出发,将引力视作一种熵增效应,则在某些一般的假设下,可以推导出牛顿第二定律以及万有引力定律。而实际的推导只需要初中数学就够了。关于其中细节,容我下回再叙。

从全息原理到牛顿定律
 
继续上篇的讨论。

Verlinde的主旨,是希望将全息原理作为更基本的假设,并由它推导出我们已知的引力理论,如牛顿力学或广义相对论。为了解释这个想法,Verlinde反复引用了弹性理论的例子:一百多年前的人们并不知道什么是原子、什么是晶格,但这并不妨碍他们建立关于固体弹性的宏观理论。只是当人们认识到了原子之后,才可以重新用原子理论的一套方法重新推导出已有的弹性理论。Verlinde认为,牛顿力学或者广义相对论恰好相当于宏观的弹性理论,而全息原理就扮演原子理论的角色。

这自然是恰当的类比。然而引力与弹性理论的不同在于,我们今天还处在“前Planck物理”时代,因此并无完整的全息原理可供使用。所以要找到一个合适的全息假设,我们只能从现有的理论入手,管窥蠡测地去寻找全息原理的蛛丝马迹。这虽然困难,却并非不可能。因为,虽然微观理论深藏于极其微小的Planck尺度,但是那里发生的一些秘密会泄漏到我们可见的世界中,这就是黑洞熵。

在经典情形,黑洞只有极少的自由度,即质量、角动量和内部对称性的荷(例如电荷)。这就是所谓的无毛定理(No-hair theorem)。然而当考虑量子效应后,黑洞就有非零的熵,且正比于其表面积。这一点最初似乎由Bekenstein提出。事实上,如果黑洞熵正比于其表面积,则当我们向黑洞中投入一颗质点后,黑洞的熵和表面积都会增加。可是人们当时已经知道,当质点以恰当的方式被投入Kerr黑洞时,黑洞的质量与表面积并不增加。

Bekenstein注意到[1],这个结论基于“质点”的假设。当我们考虑了量子力学后,任何粒子,即使是基本粒子,都有一个尺度,它或者是粒子的Compton波长,或者是Schwarzschild半径。当这样一个半径不为零的“球状物”被投入黑洞时,黑洞的半径确有不为零的增长。Bekenstein将之视为黑洞熵的增长。

黑洞有熵,意味着它包含着巨大的微观自由度。不仅如此,黑洞还有温度,还有热辐射。这就是著名的Hawking辐射。当然,这也是与经典理论直接相悖的结论:根据经典广义相对论,黑洞不仅无毛,而且一毛不拔。

为了理解这个结果,Unruh给出了一个有趣的解释[2],现在人们称之为Unruh效应。它说,在惯性系中的观察者看来空无一物的真空,在加速的非惯性系观察者看来,却是一个有温度的“热浴”,这个加速观者将看到无数的作热运动的粒子。简单地讲:你只要在真空中兜圈子,周围就会变热。你跑得越快,温度就越高。

这个有悖直觉的结论其实并不太出乎意料。关键在于,加速观者与惯性观者所用的钟表不同:它们之间并不是简单的Lorentz变换,而是一个非平凡的广义坐标变换。另一方面,我们知道,量子场论中的真空实际上是指万物的基态:并非一无所有,而只是悄无声息而已。一旦当你进入到一个加速的参考系中,由于你所携带钟表变了节拍,原来悄无声息的基态就变得喧闹起来。这就是热背景的由来。

Unruh效应虽然是对平直空间而言,但与Hawking辐射其实是一件事情。你只需注意到,自由降落的参考系与惯性系无异:无论在下坠的电梯还是漂浮在太空中的飞行器,你在其中感受到的物理是一样的,尽管心情可能完全不同。所以,一个自由降落进黑洞的观测者就相当于惯性观察者,他不知道什么是黑洞,当他穿过黑洞边界时不会出现任何异常。自然,他也看不见黑洞辐射。然而在它看来,远处的观察者相对于它在作加速运动。而根据Unruh效用,相对于惯性系作加速运动的观察者必看到热辐射:这就是Hawking辐射。

好了,以上就是全部的准备工作。接下来我们展示Verlinde的推导。[3]

Verlinde说引力是熵力,即熵增原理的宏观效果。比如渗透现象就是一种熵力。在给定的温度T下,根据能量守能,熵力F可由熵变ΔS确定为:
 
因此只要知道了温度T和熵变ΔS对位移Δx的依赖,即可求出熵力。

不要忘记全息原理:它说,信息储存在界面上。首先考虑局域的情形,我们取一小块屏:

大致上我们可以将此屏视为空间的边界。这块屏的左边是什么我们不清楚,而它的右边则是我们已知的空间。现在,在其右端距离一个Compton波长左右的位置Δx放置一颗质量为m的粒子,全息原理假定,由此粒子贡献于屏上的熵ΔS为:

这就是熵变对位移的关系。至于温度,我们有Unruh效应:对于一个加速度为a的观察者,“真空”的温度由下式给出:

由以上三式,消去熵变ΔS和温度T,瞧瞧我们得到了什么:

以上是一个局域的推导。接下来我们取一块完整的屏,一张包围了质量M的球面。

根据全息原理,假定该球面所包围的微观自由度N正比于其表面积A。由量纲的考虑补充进适当的常数,就是:

 

再假设此球体内的能量均分于各微观自由度,即Boltzmann能量均分:

而该能量E由球面所包含的质量给出:

另外,球的表面积A为:

则由以上四式,再加上熵力的定义(1)与全息假设(2),不难得到:

OK,我们暂停此处,不多解释。

 

给出参考文献,供希望知道细节的同学查阅:

[1] J. D. Bekenstein, Phys. Rev. D 7, 2333 (1973)

[2] W. G. Unruh, Phys. Rev. D 14, 870 (1976)

[3] E. Verlinde, arXiv: 1001.0785 (2010)


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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