数学运算—十字交叉法应用全攻略

(2011-01-15 19:53:24)

 

大部分人最早接触十字交叉法，是在化学课上，有关质量分数、平均分子量、平均原子量等的计算都可以用十字交叉法解决。而十字交叉法的应用不仅限于此，实际上，十字交叉法在行测考试中有着十分广泛的应用，凡是涉及同种物质加权平均的问题，都可以用十字交叉法来解。

一、十字交叉法的数学原理

很多人都用过十字交叉法，却不是所有人都知道它的由来或者它的数学原理是什么。下面以两种不同浓度的溶液混合为例，进行讲解。

将两种不同浓度的同种溶液（浓度分别为a、b，质量分别为A、B）混合，得到的混合溶液浓度为r=（Aa+Bb）/(A+B)，化简该式得到(r-b)/(a-r)=A/B，即将各部分的“平均值”和总体的“平均值”交叉做差后得到的比值与这两种溶液的质量之比相等。用十字交叉法表示如下：

                     质量      浓度     交叉做差

第一种溶液    A          a            r-b

                              r

第二种溶液    B          b             a-r   

交叉做差后得到A/B=(r-b)/(a-r)。

二、十字交叉法在溶液混合问题中应用最多，可多次使用

      例1：有浓度为4％的盐水若干克，蒸发了一些水分后浓度变成10％，再加入300克4％的盐水后，变为浓度6.4％的盐水，则最初的盐水是：

      A．200克              B．300克           C．400克               D．500克

（2007年广东省公务员考试真题）

解析：设x克10%的盐水与300克4%的盐水混合，得到6.4%的盐水，则有：

10%的盐水   x克      10%           2.4%

                                           6.4%

       4%盐水    300克       4%           3.6%

故有x/300=2.4%/3.6%，解得x=200，即10%的盐水质量为200克。

200克10%的盐水与y克的水混合，得到4%的盐水，则有：

       10%的盐水   200克    10%          4%

                                             4%

       水            y克        0%           6%

故有200/y=4%/6%，解得y=300，即水的质量为300克。因此4%的盐水质量为200+300=500克，选D。

例2：一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度变为10%，再蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度变为12%，第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少?

A．14%                 B．17%               C．16%                 D．15%

（2009年国家公务员考试真题）

解析：10%的溶液蒸发掉一定量的水浓度变为12%，可以看成12%的溶液与一定量的水混合得到10%的溶液，则有：

12%的溶液    12%         10%

                               10%

水                    0%          2%

故12%的溶液与一次蒸发的水质量之比为10%∶2%=5∶1。5份浓度为12%的溶液蒸发掉1份水，浓度变为12%×5/4=15%。

【注释】与水或纯溶质混合是溶液混合中的特殊情况，用十字交叉法时，只需将水的浓度写为0%，将纯溶质的浓度写为100%即可。

三、交叉做差时一定要同时“大减小”或同时“小减大”

交叉做差时，a-r、r-b或者r-a，b-r，也就是说r做一次减数，做一次被减数。在这三个量都已知时，习惯是“大减小”；当这三个量中因有未知数而无法判断谁大谁小时，只要遵循r做一次减数，做一次被减数的原则即可。

例：一批手机，商店按期望获得100%的利润来定价，结果只销售掉70%。为了尽早销售掉剩下的手机，商店决定打折出售，为了获得的全部利润是原来期望利润的91%，则商店所打的折是：

A．六折            B．七折            C．八五折           D．九折

（2009年江苏省公务员考试真题）

解析：设打折后的利润率为x，则有：

第一部分手机   70%    100%          91%-x

      91%

第二部分手机   30%      x                9%

故有(91%-x)/9%=70%/30%，解得x=70%，所以商店所打的折扣为(1+70%)÷（1+100%）=85%，故选C。

       【注释】此处，91%与x交叉做差时如果写成x-90%，会导致结果错误。

 四、根据r介于a、b之间，且A（B）越大，r越接近a（b）秒杀

利用此性质，可以迅速排除一些错误选项，甚至达到秒杀的效果。

例1：现有一种预防禽流感药物配置成的甲、乙两种不同浓度的消毒溶液。若从甲中取2100克，乙中取700克混合而成的消毒浓度为3%；若从甲中取900克，乙中取2700克，则混合而成的溶液的浓度为5%。则甲、乙两种消毒溶液的浓度分别为：

A．3%，6%　　B．3%，4%　　C．2%，6%　　D．4%，6%

（2006年浙江省公务员考试真题）

解析：从甲中取2100克，乙中取700克混合后浓度为3%，则甲、乙溶液浓度一定一个大于3%，一个小于3%，排除A、B、D，故选C。

例2：某城市现在有人口70万，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%，那么这个城市现在城镇人口有（  ）万。

A．30                 B．31.2              C．40            D．41.2

（2005年国家公务员考试真题）

解析：4.8%更接近5.4%，故农村人口多于城镇人口，排除C、D。将A、C代入验证，只有A项正确，故选A。

五、鸡兔同笼问题实质也是加权平均问题，可用十字交叉法来解

例：每只蜻蜓有6条腿，每只鸡有2条腿，已知蜻蜓和鸡一共有200只，且一共有600条腿，那么有多少只蜻蜓，多少只鸡？

A．40，160    B．50，150    C．60，140    D．80，120

       解析：平均每只动物有600÷200=3条腿，则有：

蜻蜓   6       1

               3

鸡       2       3

故蜻蜓与鸡的数量比为1∶3，蜻蜓有50只，鸡有150只，故选B。

六、平均增长率问题，利用十字交叉法时易出错

例：某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%。其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业生数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年毕业的本科生有：

A．3920人     B．4410人       C．.4900人       D．5490人

（2007年国家公务员考试真题）

解析：利用十字交叉法，有：

本科毕业生       -2%          8%

                                   2%

研究生毕业生  10%          4%

所以2005年本科毕业生与研究生毕业生人数之比为8%∶4%=2∶1，故今年毕业的本科生有7650÷(1+2%)×(2/3)×(1-2%)=4900人，故选C。

【注释】此处，利用十字交叉法求出的人数比例是2005年的，不是2006年的。

熟练掌握十字交叉法后，遇到加权平均问题，可以利用它迅速理清思路，从而求出结果或列出方程，有效提高解题速度。当然，考生可以根据自身习惯，选择适合自己的方法。另外，对于已知A、B、a、b，求r的题目，可以直接列式求：r=(Aa+Bb)/(A+B)。