积化和差公式

 

积化和差，指初等数学三角函数部分的一组恒等式。
公式

　　sinαsinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）]/2【注意右式前的负号】
　　cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2
　　sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2
　　cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2

证明

法1
　　积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
　　即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：
　　sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]
　　=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ）-(cosαcosβ+sinαsinβ）]
　　=-1/2[cos（α+β）-cos（α-β）]
　　其他的3个式子也是相同的证明方法。
　　（该证明法逆向推导可用于和差化积的计算，参见和差化积）
法2
　　根据欧拉公式，e^ix=cosx+isinx
　　令x=a+b
　　得e ^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）
　　所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
　　sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa

记忆方法

　　积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了特点各自的简单记忆方法。
　　【1】这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该 是
　　[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。
　　也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：
　　cos（α-β）-cos（α+β）
　　=(cosαcosβ+sinαsinβ）-(cosαcosβ-sinαsinβ）
　　=2sinαsinβ
　　故最后需要除以2。