五年级上册的数学教材计算内容安排相对集中，既有简单的小数加、减、乘、除的口算和竖式计算，又有小数四则混合运算（不超过三步），整数加法、乘法的运算律推广到小数，能应用运算律和一些运算性质进行小数的简便计算；还有会根据实际需要求积、商的近似数，能用小数四则计算解决一些简单的实际问题。笔者在教学中发现，学生在小数乘除法的计算中，错误尤其集中。
小数乘法和除法在教材中分两个部分：第一部分小数乘、除法的计算以整数乘、除法的计算作为知识基础，联系整数乘、除法的意义学生很容易理解小数乘整数以及除数是整数的小数除法的意义，只是计算时多了小数点的处理这一新问题；第二部分小数乘小数以及一个数除以小数，既要以前一个单元学习的内容为基础，而且应用积、商的变化规律分别进行相应的转化，学习的难度较大，因而这部分内容学生错误相对较多。
一、知识性错误
数学是一门逻辑性很强的学科，新知的学习都是建立在相应旧知基础上的，新旧知识之间有着密切的联系。学生对旧知理解水平的高低会影响新知的学习，任何一个联结点发生偏差，新旧知识就无法对接，有时还会引发新旧知识之间的矛盾冲突，导致无法构建完整的知识网络。
（一）旧知负迁移
在计算小数加减法时要遵循“相同的计数单位相加减”的原则，即小数点对齐。因此，学生在学习小数乘法笔算时，两个数对位问题和小数加减法的对位相混淆，学生不明白为什么要“末位对齐”。
（二）旧知识遗忘
学生在计算时出现以下错误：
第一题，整数乘法计算方法已经遗忘，错误地将十位上的1乘23，结果的末位和个位对齐了。
第二题，在除法计算中，除到哪一位商就写在那一位的上面。这里当10÷25不够商1时，要用0来占位，这同整数除法的计算法则一致，但学生遇到不够除的时候却急于把后一位移下来接着除，导致前一数位上“0未占位”。
（三）联结点偏差
小数乘法中“积的小数位数”是学习的难点。学生虽然理解了小数乘整数的算理，但是在具体计算时关于0的处理还是会出现偏差：因数末尾的0没有先落下来就点小数点；积中先把0划去，再点小数点；点小数点的方向错误，从左边数出位数再点小数点。
小数除法计算中，学生会出现如下错误：
第一题，除数是整数的小数除法竖式基本格式没有掌握，商的小数点没有和被除数的小数点对齐。
第二题，整数部分不够商1，要对着那一位商0。
第三题，学生对商不变的规律的认识比较模糊，没有顺利地将除数是小数的除法转化成除数是整数的除法。
二、心理因素的干扰
每个学生都是独立的个体，心理的发展水平也必然存在很大的差异。
（一）思维定势影响
口算小数乘除法时，学生会出现如下错误：2.4×5=10，3.5÷0.1=0.35，可能分别受2.5×4=10和3.5×0.1=0.35的定势影响。
（二）感知水平较低
部分学生的注意力稳定性较差，很容易受到外界或内部因素的影响。导致计算时加法算成减法，乘法算成除法。还有很多学生的感知水平没有达到五年级学生的平均水平，在计算中抄错数字、看错符号的情况时有发生。
（三）态度不够端正
有些学生没有树立正确的学习态度，养成了一些不良学习习惯，如写字速度过快、字迹潦草、马虎、不规范，计算时不列竖式，计算后不检验等，导致计算出错。
三、应对策略
提高学生的计算能力，应“循理入法，以理驭法”。一方面靠理解原理而不是靠死记硬背来保证正确性，靠巧思活用而不是靠不费思索的“自动化”来达到一定的熟练程度；另一方面，将计算过程中的推理系统化和程序化。比如，竖式实质上是乘法分配律经过简化的、合理的推理书写形式。
（一）根据学情分散难点
小数乘除法的计算属于程序性知识，理解起来比较简单，再加上一定的练习就能形成技能。但实践证明，小数乘除法的计算，在整个小数运算中既是重点，又是难点，要在短时间内把学生的计算夯实，难度相当大。
于是，笔者根据学生的特点，从实际出发，将小数乘除法计算中的难点进行分解，降低学习的坡度，采用“架阶梯，小步走”的方式，促进学生理解算理、掌握算法，从而形成相应的技能。例如，学习小数乘整数时，将1课时的内容分成2课时来进行。第1课时重点让学生理解算理，第2课时则将重点放在算法上。对于算理和算法的处理，可以整体考虑，系统设计。如果学生在不理解算理的基础上单纯训练算法，那只是一种机械的模仿，充其量只是获得了一种操作技能。如果只强调算理而缺乏必要的计算训练，那也难以形成计算技能。因此，理解算理、掌握算法是形成计算技能的两翼，算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括，二者相辅相成。
（二）多元表征理解算理
小数和整数相乘的教学中，教师通过创设学生熟悉的购物场景：（1）一种橡皮每块0.8元，买3块要多少元？（2）一种橡皮筋每根0.08元，买3根要多少元？唤醒学生的生活经验和学习经验。教师设问：0.8×3为什么等于2.4呢？对于这个问题教师创造机会让学生多角度表征，这样可超越算法层面，理解算理。学生中出现了以下几种表征：
（1）基于加法意义：
（2）化成整角思考：0.8元是8角。8×3＝24（角），24角＝2元4角，2元4角＝2.4元；
（3）利用图形和小数计数单位来表征：
……
学生用同样的思路回答第二问以后，教师趁热打铁设问：如果是0.008×3，你喜欢用加法算吗？喜欢换算成元角分后再计算吗？那可以怎么思考呢？逼迫学生在对比的情境中进行方法的择优，得出利用小数计数单位来思考更简便。计算的灵活性源于数学理解，教学中教师帮助学生建立多元表征形式之间的相互支持与彼此联系，促进理解的生成和完善。多角度地考察问题,讨论各种方法，做出比较并找到最好的一种，实际上是数学发展的一种持续动力。
（三）优化练习巩固算法
计算技能的形成离不开必要的练习，练习的设计要面向全体学生，由易到难，由简单到复杂，螺旋上升。教师根据小数乘除法知识结构的繁简和难易程度，设计专项练习、变式练习、对比练习、错题辨析等，促进学生的计算技能由感性认识上升到理性认识，自主建构起数的运算的知识网络，形成良好的计算能力。
专项练习。
例如，在学生基本领悟小数与整数相乘的算理之后，教师设计专项练习：
0.7×4=（ ）
想： 个 0.1× ＝ 个0.1
0.21×4=（ ）
想： 个 0.01× ＝ 个0.01
……
小数乘整数的算理在专项练习中进一步明朗化，从有图的形象思维提升到无图的抽象思维，直奔小数乘整数的本质。
2.变式练习。
在小数乘除法教学的过程中，教师精心设计变式题组，利用变式题组帮助学生在不同情境中认识事物的本质属性，促进学生对法则的理解更精确、更概括，更易于迁移。
例如，在小数乘法的练习课中，设计这样的题组：50.3×1.3，50.3×1，50.3×0.3。先让学生计算出结果，然后再让学生观察这些算式有什么特点，引发学生猜想，再通过举例验证猜想，从而得出规律。再设计这样的题组：2.76○2.76×0.19，0.19○2.76×0.19，让学生运用刚才的规律解决问题，体会规律的价值。
3.错题辨析。
学生对计算技能的学习和掌握，需要经历从不懂到懂、从不会到会、从出现较多错误到出现较少错误甚至不出现错误的自我矫正过程。错误能反映出学生认识上存在的偏差，反映出学生的学习困难所在，以及行为习惯、情感态度等非认知品质等状态。
所以，教师要做有心人，把一些典型错误进行收集整理，按照知识体系整理归类。当学生在学习相关内容时，这些宝贵的错误资源就可以提醒教师，学生可能会在哪些地方出现认知上的偏差，或者在哪些地方会存在什么样的困难，让教师更好地从学生实际出发。同时，教师还可以把这些错误呈现给学生，让学生在找错、改错中反思问题所在，剖析错误根源，从而有效地进行前馈控制，更好地促进数学理解的深度建构。
（四）加强口算夯实基础
“冰冻三尺，非一日之寒。”计算技能的形成不是凭一时之力所能形成的。除了运用多种手段促进学生对算理的理解和精心设计课堂练习进行科学训练外，教师还可以坚持每天课前2分钟的口算练习，做到“拳不离手，曲不离口”，从而克服思维障碍，推动思维深入发展，使计算能力不断提升。
（五）注重元认知培养
元认知，就是对认知的认知。具体地说，是关于个人自己认知过程的认识和调节，对思维和学习活动的认识和控制。元认知的培养其实就是要培养学生进行自我反思的能力。它既包括对问题表征的反思、对策略选择的反思、对模式识别的反思、对推理过程的反思，也包括解题后对问题及方法的反思。引导学生对小数乘除法进行反思、学会反思、养成批判与反思的习惯，不仅可以减少或避免错误的发生，而且可以全方位地提升学生的计算品质。
例如，当学生出现了0.75÷0.12=6……3这一错误时，教师首先引导学生观察分析：你从哪儿看出余数有问题？学生很快找到了三种判断错误的方法：与除数比，与被除数比，用6×0.12＋3≠0.75进行验算。教师再问：出现这类错误的主要原因在哪里？想一想，自己为什么没有得到正确答案？应该怎样纠正？学生在自我反思的过程中，不仅“知其错”，更“知其所以错”，在纠正错误的同时，深化了对知识的理解。
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