张守荣（甘肃省通渭县通和初级中学）
摘要：几何直观是数学十大核心概念之一，对于几何直观的教学在数学中起到十分重要的作用．而折纸由于取材方便，又能有效地考查实践操作、归纳探索、逻辑推理、空间想象等各种能力．因此，折纸可以当作几何直观中的直观，对学生数学能力的培养起到重要的作用．文章通过几个折纸案例加深学生对几何直观的理解．
关键词：几何直观；折纸案例；动手操作
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，几何直观主要是指利用图形描述和分析问题．借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果．几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在数学学习过程中发挥着重要的作用．折纸教学作为大家熟悉的带有娱乐性质的教学，已经发展成为现代几何学的一个分支，折纸艺术既可以让学生在折叠中探究数学知识的形成过程，又可培养学生动手操作、观察分析、空间想象等能力．折纸由于取材方便，又能有效地考查实践操作、归纳探索、逻辑推理、空间想象等各种能力．因此，折纸可以当作几何直观的直观，对学生数学能力的培养起到重要作用，现仅从折纸的角度来谈谈几何直观对学生思维的培养．
一、案例分析
1.折纸证明定理，开拓学生视野
案例1：三角形中位线定理.
三角形中位线定理是三角形的一个重要定理，各种版本的教材都是通过直接证明或者以例题的形式来呈现，而三角形中位线可以通过折纸的方法直接折出，因此可以引导学生通过折纸的方式尝试证明．
所以EF∥BC，且EF=GH=GK+KH.
又由折叠可知GK=BG，KH=CH．
所以BC=2EF．
这样就证明了三角形中位线定理．
【设计说明】该定理用折叠的方法证明不仅操作方便，易于学生找到三角形中位线，还使学生学会了如何把一个一般的三角形折成矩形，进一步积累数学学习经验，还可以通过这个折法验证三角形内角和定理，有一举两得的功效．
2.折出民间艺术，启迪学生智慧
案例2：如何折正五边形.
折纸不仅在民间艺术创作中有广泛运用，还可运用到美术创作和美术教学中，在数学教学中也有他独到的作用．因此，在近年中考中都是热门考点，涌现出一批与折纸有关的优秀中考题，充分体现了折纸在数学中的地位和作用．实际上在折纸活动中最常见的情形是折叠前后图形的形状和大小一样，而最基本的结论又为折痕所形成的边角关系，而这些关系又可帮助学生建立折纸操作与数学内容的联系．
案例3：如图5，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=3厘米，EF=4厘米，则边AD的长是多少？
师生操作：先把矩形纸片对折两次折出其中心O，再过点E将点O折到边BC上，折痕为FL，点B的对应点为点L.再将AE与EL重合对折，折痕为EH，易知H，L，F在一条直线上.将点D沿GH折叠，使点D落在FH上，记为点K.将点C沿GF折叠，使点C落在FH上，这时点C与点K重合（如图6）．
4.改编“折纸”试题，体现折纸价值
由于矩形纸片取材方便，折叠起来也方便，因此矩形纸片作为折叠类试题的首选，在各地中考关于折叠题材的试题有很多都是以矩形为原型的．例如，(2013年河南卷第15题)如图7，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B＇处，当△CEB＇为直角三角形时，BE的长为 .又如，(2013年山西卷第17题)如图8，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A＇处，则AE的长为 .它们有一个共同的特点为都通过矩形的一个顶点折叠，且折叠后的图形所经过的点比较特殊，都是通过折叠后一个顶点恰好落在一条对角线上，然后求折过的边长为多少？这样就容易让学生在平时做题训练中机械地模仿，于是可对此题做以下改编.
点问题，给学生似曾相识的感觉．第（1）小题通过对以上两道中考题说法改变后，就多出现了一种情况，考查了学生的分类思想，能更好地考查学生思维的广阔性，受到第（1）小题和这两道中考题的影响，可以对点B＇恰好在边AC上“大做文章”，而△CEB＇的周长最小时，点B＇恰好在边AC上进行研究，因此就产生第（2）小题.对第（1）小题的延续性的讨论，在考查中考热点问题和难点问题——最值问题的同时，也考查了“三角形两边之和大于第三边”这一基本几何定理，从而更好地考查了学生的思维能力，以及对基础知识的掌握情况，且和第（1）小题遥相呼应、相得益彰．当点E在BC边移动时，自然要考虑点E为BC的中点和点B＇恰好在AD边这两种特殊的情况，在这两种情况下四边形AEC B＇均为梯形，而在考虑它们为梯形时自然先要考虑有没有可能为平行四边形，从而形成第（3）小题，第（3）小题和第（1）小题结合起来考查学生思维的缜密性和严谨性，以及分析问题和解决问题的能力．函数思想和数形结合思想历来都是数学试题必考查的内容，第（4）小题在求出点B＇分别在横坐标最大和纵坐标最大时的点的坐标的过程中必须要知道点B＇的运动轨迹，第（4）小题反映的是函数思想，需要通过数形转换求出点的坐标，因此第（4）小题使得该题的考查功能得到升华．
此题融折纸问题、最值问题、动点问题，函数思想、分类思想、数形结合思想，考查了学生对基础知识的掌握能力、思维的缜密性和严谨性、广阔性，以及分析问题和解决问题的能力．
综合考虑来完成，较好地考查了学生对基础知识的掌握情况，也考查了学生的动手操作能力和空间想象能力．
二、结束语
综上所述，采用图形、符号和语言文字相结合的方式是折纸的魅力所在，折纸中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化思想，它贯穿几何教学的始终，在几何教学中占有很重要的地位．折纸活动虽然取材方便，但是实际操作起来比较费时，通过折纸花费大量时间得到的结论，往往从表面上看有时不通过折纸就可利用已有的数学知识直接证出来，导致折纸在实际教学过程中并不受广大数学教师的欢迎.但折纸活动对学生数学思维的培养往往是隐性的，一些已有折纸作品凝聚着古人智慧的结晶，通过折纸活动可以开拓学生视野．因此，折纸活动不仅对数学思维能力的培养起到积极的作用，还可以提高学生对数学学习的兴趣、提高学困生的数学学习能力，对培养学生的团队精神、探究精神和创新精神，培养学生观察能力、综合能力、分析和解决问题的能力也会起到积极的作用．
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准 (2011年版) [M]北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]苑建广．对几何直观教学的思考[J].中国数学教育（初中版），2014（5）：35-41．
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