二次函数解析式变式探索

求二次函数解析式变式探索

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    2007年11月17日  04:23    青少年报

求二次函数的解析式,除了用三种基本的形式外,还

有下列变化的形式:

一、顶点在直线上求解析式

例1 已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+n的图象

的对称轴是x=2,且最高点在直线y=12x+1上,求这个

二次函数的表达式.

解∵二次函数的对称轴x=2,此图象顶点的横坐

标为2,此点在直线y=12x+1上.

∴y=12×2+1=2.

∴y=(m2－2)x2－4mx+n的图象顶点坐标为(2,2).

∴－b2a=2.∴－-4m2(m2－2)=2.

解得m=-1或m=2.

∵最高点在直线上,∴a<0,

∴m=-1.

∴y=－x2+4x+n.∵顶点为(2,2).

∴2=－4+8+n.∴n=－2.

∴这个二次函数的表达式y=－x2+4x-2.

变式练习将上例中其它条件不变,"最高点"改

为"顶点"求二次函数解析式(分a＞0和a＜0两种情).

二、巧用对称性求解析式

例2 已知二次函数的图象经过点(0,3),对称轴

方程是x-1=0,抛物线与x轴两交点的距离为4,求这个

二次函数的解析式.

分析∵对称轴方程是x-1=0,抛物线与x轴两

交点的距离为4,

由抛物线的对称性知,抛物线与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0).

由抛物线的交点式:y=a(x－x1)(x－x2)求出解析式.

变式练习1 将经过的点与对称轴方程改为顶点坐标.

已知二次函数的顶点坐标是(3,2),且图象与x轴

的两个交点间距离是4.求这个二次函数的解析式.

变式练习2 将与x轴两交点的距离改为已知一交点坐标.

已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A(3,0),B两点,与y轴交于(0,3)点,对称轴是x=1,求二次函数的解析式.

变式练习3 将对称性在等腰三角形中体现.

已知:抛物线y=mx2-(3m+43)x+4与x轴交于两点A,B,与y轴交于C点,若△ABC是等腰三角形,求抛物线的解析式.

三、利用两个函数之间的关系求解析式

例3 已知二次函数y1=ax2-2bx+c和y2=(a+1)x2-2(b+2)x+c+3在同一坐标系中的图象如图.

(1)哪个函数图象经过B,C,D三点；

(2)若BO＝AO,BC＝DC,求二个函数的解析式.

解由图象可知,a与a＋1一定是异号的又.∵a＋1＞a,

∴a＋1＞0,a＜0.

∴-1＜a＜0.

∴y2经B,C,D三点.

(2)∵BO＝AO,∴y1的对称轴是y轴,即--2b2a=0.∴b=0.∵y1与y2有两个交点,设交点为(x0,y0).

∴y0=ax02+c ①y0=(a+1)x02-4x0+c+3!

②②-①得:0=x02-4x0+3,∴x0=1或3.∴B(1,0),C点横坐标3.

∵BC＝DC,∴C为顶点.∴D(5,0).

∵点B在y1上,点D在y2上,

∴0=a+c 0=25a+25-20+c+3! .

∴a=-13

b=13"$#$%.

∴y1=-13x2+13,y2=23x2-4x+103.变式练习已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,求此抛物线的解析式.(提醒:需要讨论)(同学们可以思考一下)