用matlab求解某已知的差分方程的单位冲激响应全过程

(2008-11-24 20:39:56)

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标签： 冲激响应 差分方程 matlab z变换 教育

ⅰ.设计题目：

已知某LIT系统的差分方程为：

3y(n)-4y(n-1)+2y(n-2)=x(n)+2x(n-1)

计算n=[-20:100]时的系统单位冲激响应。

 

ⅱ.设计要求：

本课程设计应满足以下要求:
    1.实用性:设计的典型函数应该能够正确运行.     

2. 可读性:源程序代码清晰,有层次,主要程序段有注释.

 

ⅲ.设计目的：

   在学习了数字信号处理这门课程后，按照基本原理,综合运用所学的知识,利用Matlab,掌握系统的单位冲激响应内容，由给定的差分方程求解系统的单位冲激响应h(n).

 

ⅳ.设计原理：

根据给定的差分方程：

3y(n)-4y(n-1)+2y(n-2)=x(n)+2x(n-1)

利用z变换，求出H(z),再通过求其逆变换，得到系统单位冲激响应h(n)。

 

ⅴ.具体算法：

第一步，根据差分方程：

3y(n)-4y(n-1)+2y(n-2)=x(n)+2x(n-1)

用z变换求出H(z)的表达式，原式可化为：

 

ⅵ.MATLAB源程序：

计算系统单位冲激响应源程序：

num=[1,2,0];

den=[3,-4,2];

n=[-20:100];

hn=dimpulse(num,den)

hn=dimpulse(num,den);

stem(hn);

title('LTI系统的单位冲激响应')

 

ⅶ.系统仿真结果：

(1).LTI系统的单位冲激响应的计算结果：

h(n) =

0.3333     1.1111      1.2593      0.9383 

0.4115    -0.0768     -0.3768    -0.4512 

-0.3504    -0.1664      0.0117     0.1266

 0.1609     0.1302      0.0663     0.0016 

-0.0421    -0.0571     -0.0482    -0.0261

-0.0027     0.0138      0.0202     0.0177

0.0102     0.0018     -0.0045    -0.0071

-0.0065    -0.0039     -0.0009     0.0014

 0.0025     0.0024

LTI系统的单位冲激响应的结果图：

 

 

ⅷ.运算结果验证：

在matlab中输入以下程序进行验证：

num=[1,2,0];

den=[3,-4,2];

disp(‘系统传递函数H(z)’)；

printsys(num,den,‘z’)；

disp(‘转为零极点增益模型’)；

[z1,p1,k1]=tf2zp(num,den)

disp(‘转为零极点留数模型’);

[r1,p1]=residue(num,den)

h(n)=dimpulse(num,den)

 

输出结果为：

系统传递函数H(z)

num/den =

 

     z^2 + 2 z

   ---------------

   3 z^2 - 4 z + 2

转为零极点增益模型

z1 = 0

-2

 

p1 =0.6667 + 0.4714i

   0.6667 - 0.4714i

 

k1 =0.3333

 

转为零极点留数模型

 

r1 =0.5556 - 0.5500i

   0.5556 + 0.5500i

 

p1 =0.6667 + 0.4714i

   0.6667 - 0.4714i

 

h(n)=

0.3333      1.1111    1.2593    0.9383

0.4115     -0.0768   -0.3768   -0.4512

-0.3504     -0.1664    0.0117    0.1266

          0.1609      0.1302    0.0663    0.0016

         -0.0421     -0.0571   -0.0482   -0.0261

         -0.0027      0.0138    0.0202    0.0177

          0.0102      0.0018   -0.0045   -0.0071

-0.0065     -0.0039   -0.0009    0.0014   

          0.0025      0.0024

 

ⅸ.对其进行理论验证：

 

当n=0时，

 

当n=1时，

 

 

同理可证，当n=2,3,……时，结果均与源程序运行结果相符，此实践课题已正确完成。