两线合一必有等腰

学了三角形的全等，我们很容易证明等腰三角形三线合一的性质.

什么是“三线合一”呢？

完整表达是：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

那么反过来，换个角度思考，两线合一能够推出等腰三角形吗？

这里需要分三种情况：

一、角平分线和高重合

当角平分线和高重合时，使用ASA容易证明△ABD≌△ACD，故有AB=AC.

即△ABC是等腰三角形。

二、高和中线重合

当高和中线重合时，使用SAS易证△ABD≌△ACD，故有AB=AC.

即△ABC是等腰三角形.

三、角平分线和中线重合

当角平分线和中线重合时，直接证明就不行了，证明全等三角形总共五个判定方法，分别是：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.

ASS并不能保证两个三角形全等，那么在这里应该怎么证明呢？既然有中点，倍长中线试一试，这时柳暗花明又一村，得证.

延长AD到点E，使DE=AD，并连接BE.

使用SAS易证△BDE≌△CDA，

故有EB=AC，∠BED=∠CAD,（全等三角形的性质）

又因为∠BAD=∠CAD，（已知）

所以∠BED=∠CAD.（等量代换）

所以EB=AB，（等角对等边）

所以AB=AC.（等量代换）

即△ABC是等腰三角形.

综合以上三种情况，得出结论：两线合一必有等腰.