拉普拉斯变换的物理意义是什么？

这个问题要先从一个工程师说起……

英国有一位工程师，名叫Heaviside（此君自学成才，化简了麦克斯韦方程组，提出了电离层假说），他使用了一种叫做“运算算子法”的计算方法来解决电路计算中的一些问题。
电路问题基本上就是微分方程的问题，所以这种方法现在依然用在解常微分方程中，举例来说：

定义算子：

这样一来一个微分方程比如，设r、e是关于t的函数：

这样一来就相当于将微分和积分运算化为乘除，把微分方程化为代数方程，简单了很多[注2]，现在常微分方程求解这也是一种常用而且比较简便的方法。
在电路分析中使用这种方法建立系统的数学模型也十分简便，而且电容电感可以写成等效容抗感抗值，之后写回路方程，按照Cramer法则求解即可。


这种方法虽然实用，却受到了数学家的质疑，因为缺少严谨的数学论证，后来人们在Laplace的著作中找见了可靠的依据，这种方法便被称为拉普拉斯变换法。
这种方法在电路的理论分析中的地位相当重要，后来CAD出现计算机也可以进行电路的分析，拉氏变的应用便逐渐减少，但拉氏变换建立起来的系统函数、零极点分析这样的概念却依然很实用：它可以直观的表现系统的输入输出特性。
与电路分析比较类似的还有连续线性是不变系统的分析。

数学和信号系统分析方面要先从Fourier变换说起……

此变换需满足Dirichlet条件[注3]：

而实际中有很多信号不满足狄利克雷条件，无法做出变换。
解决的方法是引入衰减因子

满足狄利克雷条件，可以求出傅里叶变换。

这样做的物理意义相当于给一个振荡频率为 w 且震荡幅度不断增长的信号的幅度做了一个速率

的衰减，如此一来便满足绝对可积条件。
这样处理扩展了傅里叶变换使用的范围，并且将频域扩展为复频域，拉氏变换相当于在整个复平面上的变换，而傅氏变换仅仅是在这个复平面的虚轴上。
在系统分析中借助于基于拉氏变换的系统函数，可以从极点分布入手分析原信号波形、判断系统稳定性，也可以从零点分布入手分析时域函数的幅度和相位；也可以分析自由响应与强迫响应；更可以分析系统的频响特性[注4]。

倒是有一个自认为很好但很非主流的一个解释，复平面实际上不存在，对实际中能接触到的部分来说：
将C大九和弦一起摁发出的音符分解成 1 3 5 7 2这几个单音的过程实际上就是傅里叶变换，而乐谱则是音乐（时域）在频域上的分布。
把它推广到复平面，就需要拉氏变换了。

注1：
即赵博成提到的：“拉普拉斯变换首先是一个数学工具，在求解微分方程的时候起到巧妙的作用。”赵同学讲的基本正确，但缺少拉氏变换在信号系统分析中的应用
注2：
实际上这种使用算子的计算方法是有条件限制的，比如通常来说，消去律不成立。
注3：
周期信号与阶跃信号虽不满足这一条件，但因为冲击函数的存在其傅里叶变换依然存在。
注4：
与拉氏变换方法和概念都很类似的z变换也广泛应用在离散时间系统的分析中。