4.3 概率和统计
MATLAB不仅提供了强大的矩阵运算功能，在线性代数方面有广阔的应用，而且还能对大量的数据进行分析和统计，比如最常用的操作求平均值、最大值、标准差等，还有统计工具箱提供的二项分布、正态分布、泊松分布等，另外还有其他更为深入的统计功能。
4.3.1 基本分析函数
1．sum函数
sum函数用于求矩阵列方向元素或向量的和，调用格式如下。
（1）B=sum(A)：若A为向量，则返回所有元素的和；如A为矩阵，则分别对其各列所有元素求和并返回结果。
（2）B=sum(A,dim)：分别对矩阵A中第dim维的所有元素求和。
【例4-16】 sum函数应用示例。
>> A = pascal(6)
A =
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6
1 3 6 10 15 21
1 4 10 20 35 56
1 5 15 35 70 126
1 6 21 56 126 252
>> A=A(:,1:4) % 创建演示矩阵
A =
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
1 5 15 35
1 6 21 56
>> B=sum(A) % 求各列的和
B =
6 21 56 126
>> C=sum(A') % 求转置后矩阵各列的和
C =
4 10 20 35 56 84
>> D=sum(A,1) % 求第1维方向也就是列方向各元素的和
D =
6 21 56 126
>> E=sum(A,2) % 求第2维方向也就是行方向各元素的和
E =
4
10
20
35
56
84
2．cumsum函数
cumsum函数用于求矩阵或向量的累积和，调用格式如下。
（1）B=cumsum(A)：若输入参数A为一个向量，则返回该向量所有元素的累积和；若A为矩阵，则返回该矩阵列方向各元素的累积和。
（2）B=cumsum(A,dim)：A为矩阵，dim为指定维数，若dim=1，则表示在列方向上求累积和；若dim=2，则表示在行方向上求累积和，如果A是多维矩阵那么dim可以为其他维数。
【例4-17】 cumsum函数应用示例。
>> cumsum(1:5)
ans =
1 3 6 10 15
>> A=magic(4)
A =
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
>> cumsum(A) % 列方向上求累积和
ans =
16 2 3 13
21 13 13 21
30 20 19 33
34 34 34 34
>> cumsum(A,1) % 列方向上求累积和
ans =
16 2 3 13
21 13 13 21
30 20 19 33
34 34 34 34
>> cumsum(A,2) % 行方向上求累积和
ans =
16 18 21 34
5 16 26 34
9 16 22 34
4 18 33 34
通过比较【例4-16】和【例4-17】可以看出cumsum函数和sum函数的区别：cumsum函数是累积和，结果中含有每一步计算的结果，而sum给出的则是最终求和的结果。
3．prod函数
prod函数用于求矩阵元素的积，其调用格式如下。
（1）B=prod(A)：若A为向量，则返回所有元素的积；若A为矩阵，则返回各列所有元素的积。
（2）B=prod(A,dim)：返回矩阵A中的第dim维方向的所有元素的积。
【例4-18】 prod函数应用示例。
>> prod(1:10) % 计算10的阶乘
ans =
3628800
>> M = magic(3)
M =
8 1 6
3 5 7
4 9 2
>> prod(M) % 列方向求积
ans =
96 45 84
>> prod(M,2) % 行方向求积
ans =
48
105
72
4．cumprod函数
cumprod函数用来求矩阵或向量的累积乘积，其调用格式如下。
（1）B=cumprod(A)：若输入参数A为一个向量，则返回该向量所有元素的累积乘积；若A为矩阵，则返回该矩阵列方向各元素的累积乘积。
（2）B=cumprod(A,dim)：A为矩阵，dim为指定维数，若dim=1，则表示在列方向上求累积乘积；若dim=2就代表在行方向上求累积乘积。
【例4-19】 cumprod函数应用示例。
>> cumprod(1:10)
ans =
Columns 1 through 7
1 2 6 24 120 720 5040
Columns 8 through 10
40320 362880 3628800>> A = [1 2 3; 4 5 6]
A =
1 2 3
4 5 6
>> cumprod(A,1) % 列方向上求累积乘积
ans =
1 2 3
4 10 18
>> cumprod(A,2) % 行方向上求累积乘积
ans =
1 2 6
4 20 120
通过比较【例4-18】和【例4-19】可以看出cumprod函数和prod函数的区别：cumprod函数是求累积乘积，结果中含有每一步计算的结果，而prod给出的则是最终乘积的结果。
5．sort函数
sort函数用于对矩阵元素按升序或者降序进行排序，其调用语法如下。
（1）B=sort(A)：对A进行默认的升序排序。输入参量A可以是向量、矩阵或字符串，若为向量，则对向量中的所有元素进行排序；若为矩阵，则对列方向各元素进行排序；若为字符串，则按其对应的ASCII码的大小进行排序。
（2）B=sort(A,dim)：对矩阵A中的第dim维进行升序排序。
（3）B = sort(...,mode)：按照指定升序或降序进行排序。mode可以是'ascend'（默认，升序），或者是'descend'（降序）。
（4）[B,IX] = sort(A,...)：对A进行排序，并返回排序后各元素的下标值。
【例4-20】 sort函数使用示例。
>> A = [ 3 7 5;0 4 2 ]
A =
3 7 5
0 4 2
>> sort(A,1) % 列方向排序
ans =
0 4 2
3 7 5
>> sort(A,2) % 行方向排序
ans =
3 5 7
0 2 4
>> sort(A,2,'descend') % 行方向降序排序
ans =
7 5 3
4 2 0
>> [B,IX] = sort(A,2) % 排序并返回下标
B =
3 5 7
0 2 4
IX =
1 3 2
1 3 2
>> B=reshape(18:-1:1,3,3,2) % 创建高维矩阵
B(:,:,1) =
18 15 12
17 14 11
16 13 10
B(:,:,2) =
9 6 3
8 5 2
7 4 1
>> sort(B,1) % 列方向排序
ans(:,:,1) =
16 13 10
17 14 11
18 15 12
ans(:,:,2) =
7 4 1
8 5 2
9 6 3
>> sort(B,2) % 行方向排序
ans(:,:,1) =
12 15 18
11 14 17
10 13 16
ans(:,:,2) =
3 6 9
2 5 8
1 4 7
>> sort(B,3) % 页方向排序
ans(:,:,1) =
9 6 3
8 5 2
7 4 1
ans(:,:,2) =
18 15 12
17 14 11
16 13 10
6．sortrows函数
sortrows函数用于在保持各行相对元素不变的情况下，对各行整体进行升序排列。sortrows函数调用语法如下。
（1）B = sortrows(A)：按行对A进行升序排列。输入变量A必须是矩阵或者列向量。
（2）B = sortrows(A,column)：基于向量column指定的列对矩阵A进行排序。
（3）[B,index] = sortrows(A,...)：在对矩阵A进行排序的同时，返回下标索引。如果A是一个列向量，则B = A(index)；如果A是一个m×n的矩阵，则B = A(index,:)。
【例4-21】 sortrows函数使用示例。
>> rand('state',0) % 设定随机数种子，以便于读者验证
>> A = floor(rand(6,7) * 100); % 创建测试矩阵，floor函数用于取整，以便于观察
>> A(1:4,1)=95; A(5:6,1)=76;
>> A(2:4,2)=7; A(3,3)=73 % 修改部分数据，以体现函数用法
A =
95 45 92 41 13 1 84
95 7 73 89 20 74 52
95 7 73 5 19 44 20
95 7 40 35 60 93 67
76 61 93 81 27 46 83
76 79 91 0 19 41 1
>> B = sortrows(A) % 按照第1列元素大小对矩阵A进行排序
B =
76 61 93 81 27 46 83
76 79 91 0 19 41 1
95 7 40 35 60 93 67
95 7 73 5 19 44 20
95 7 73 89 20 74 52
95 45 92 41 13 1 84
通过比较可以看到，矩阵A中第1列具有相等的元素。sortrows函数在进行排序操作时，如果指定列中存在相等元素，则通过比较指定列右侧列中的元素来进行排序，右侧列中若还有相等元素，则按照右侧再下一列的元素进行排序。
>> C = sortrows(A,2) % 按照第2列的大小进行排序
C =
95 7 73 89 20 74 52
95 7 73 5 19 44 20
95 7 40 35 60 93 67
95 45 92 41 13 1 84
76 61 93 81 27 46 83
76 79 91 0 19 41 1
>> D = sortrows(A,[1 7]) % 按照第1列和第7列进行排序
D =
76 79 91 0 19 41 1
76 61 93 81 27 46 83
95 7 73 5 19 44 20
95 7 73 89 20 74 52
95 7 40 35 60 93 67
95 45 92 41 13 1 84
>> E = sortrows(A,[1 -7]) % 按照第1列和第7列进行排序
E =
76 61 93 81 27 46 83
76 79 91 0 19 41 1
95 45 92 41 13 1 84
95 7 40 35 60 93 67
95 7 73 89 20 74 52
95 7 73 5 19 44 20
矩阵D和E都是按照第1列和第7列进行排序，即首先按照第1列进行排序，如果第1列中存在相等元素，则按照第7列进行排序。参数[1 -7]中的负号的含义是按照降序排序。
>> F = sortrows(A, -4) % 按照第4列进行降序排序
F =
95 7 73 89 20 74 52
76 61 93 81 27 46 83
95 45 92 41 13 1 84
95 7 40 35 60 93 67
95 7 73 5 19 44 20
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