素數通項公式

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素数普遍公式目录[隐藏]一、引言二、素数普遍公式三、素数的个数四、公式的用途五、素数普遍公式在认识形成中的作用和意义思考题作者王曉明（呆呆）

1引言 2素数普遍公式 3素数的个数 4公式的用途 5素数普遍公式在… 6思考题

1引言 2素数普遍公式 3素数的个数 4公式的用途 5素数普遍公式在… 6思考题 7素数公式比较 7.1以前x^2处的的素数 7.2现在Pn#处的素数 7.3两者的误差 7.4生成图表 8初等证明 9素数简介 9.1个数 9.2费马数2^2^n+1 9.3梅森质数 9.4相关猜想

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2000多年前欧几里德在证明素数无穷多时就埋下了寻求素数普遍公式的伏笔，以布劳维尔为首的直觉主义学派认为：“你没有给出第n个素数是如何构造的，就不能算是好的证明”。2000多年来，数论学最重要的一个任务，就是寻找素数普遍公式，为此，一代又一代数学精英，耗费了巨大的心血，始终未获成功。黎曼曾想用他的ζ函数数的“零点”来逼近素数普遍公式，至今未获成功。也有人反向思考，用素数普遍公式逼近“零点”来解决黎曼猜想。希尔伯特在1900年的国际数学家大会上说：对黎曼公式进行了彻底讨论之后，或许就能够严格解决哥德巴赫问题和孪生素数问题。实际在哲学上，只要有一个明确的定义，就应该有一个公式。

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公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法：

（一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。

（二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1<d≤√N”。（《基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）。.

（三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于(根号)√N的任何素数整除，则N是一个素数”。见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。

（四）这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式：

N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak 。(1)

其中 p1，p2，.....，pk表示顺序素数2，3，5，,,,,。a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0形。若N<P（k+1）的平方 [注：后面的1，2，3，....，k，（k+1）是脚标，由于打印不出来，凡字母后面的数字或者i与k都是脚标] ，则N是一个素数。

（五）可以把（1）等价转换成为用同余式组表示：

N≡a1(modp1)， N≡a2(modp2)，.....，N≡ak(modpk)。 (2)

例如，29，29不能够被根号29以下的任何素数2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。 29≡1(mod2)，29≡2(mod3)， 29≡4(mod5)。29小于7的平方49，所以29是一个素数。

以后平方用“*”表示，即：㎡=m*。

由于（2）的模p1，p2，....，pk 两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，（2）在p1p2.....pk范围内有唯一解。

例如k=1时，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了（3，3*）区间的全部素数。

k=2时，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19； N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。求得了（5，5*）区间的全部素数。

k=3时,

---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.|

---------------------|---------|----------|--------|---------|

n=2m+1=3m+1= |--31----|--7, 37-|-13,43|--19----|

n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---|

------------------------------------------------------------

求得了（7，7*）区间的全部素数。

由孙子定理知，（1）式和（2）式在p1p2....pk范围内有(2-1)(3-1)（5-1）....(pk-1)个解，两式的本质是从p1p2....pk中除去pm（m〉1)的合数，这一点与埃拉托塞筛法不同，埃氏筛是用p1，p2，...，pk去筛p(k+1)平方以内的合数，剩下的就是p*(k+1)以内的素数了。例如用2，3，5，去筛49以内的合数，剩下的就是（7，7*）区间的素数了。但是，（1）（2）式是用p1，p2，..，pk 去筛p1p2...pk以内的pim（i≤k)形的数，连同p1，p2，...，pk也筛掉了。切比雪夫证明了“p*(k+1)<p1p2...pk对于由4开始的所有的K 都是对的。例如，3*>2，5*>2×3，7*>2×3×5，11*<2×3×5×7。从11开始都是这样了。（参见[数学欣赏]汉斯拉德海著220页“数30的一个性质”北京出版社1981.6）所以，若K≥4时，（1）（2）式的计算结果只能取p(k+1)平方以内的值才是素数。k=4时,

- -------------------------- |7m+1 |7m+2 |7m+3 | 7m+4|7m+5 | 7m+6 |

-----------------------------|--------|--------|--------|-------|--------|---------|-

n= 2m+1=3m+1=5m+1=|-- 1 -- |-121- |-- 31--|- 151-|--61--|-181-- |

------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-

n= 2m+1=3m=1=5m+2=|-127-|--37-- |--157--|-67--|-187-- |-- 97-- |

------------------------------|- -----|--------|--------|-------|--------|---------|-

n= 2m+1=3m+1=5m+3=|--43--|--163-|--73---|-193-|-103--|--13----|

------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-

n= 2m+1=3m+1=5m+4=|-169-|--79--,|-199-- |-109-|--19---|-139---|

------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-

n= 2m+1=3m+2=5m+1=|--71--|-191--|-101--|--11--|-131--|--41----|

------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-

n= 2m+1=3m+2=5m+2=|-197-|-107--|--17---|-137--|--47-- |-167-- |

------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|----------

n= 2m+1=3m+2=5m+3=|-113-|-- 23--|-143--|-- 53--|-173--|-- 83---|

------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-

n= 2m+1=3m+2=5m+4=|--29--|-149--|--59--|-179--|--89-- |--209-- |

------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-

求得了（11，11*）区间的全部素数。共有（2-1）×（3-1）×（5-1）×（7-1）=48个解。小于11平方的解有27个，加上被筛掉的（m=1）四个数2，3，5，7。减掉即不是素数也不是合数的“1”，共有：

************(2-1)×(3-1)×(5-1)×(7-1)

[ 121×------------------------------------+4-1]=30.个解。方括号内取整数。

******************( 2×3×5×7)

素数普遍公式实际上是由两个式子共同完成，仅从（1）式看不出素数的什么规律，一旦转为同余式组，整个线路就清晰了，因为在孙子定理的照耀下，我们知道，a≠0，即是在p1p2p3...pk范围内筛去p1m+0，p2m+0，p3m+0，...，pkm+0形的数，所以在p1p2p3...pk范围内有（2-1）×（3-1）×（5-1）×...×(pk-1)个解。或者表示成

(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)...(1-1/pk).（*）

个解。并且类似意大利数学家彼德罗们伐利的调和级数的定理，在向无穷所使用的“自我复制”,大家可以联想到原子核裂变的情况，物理与数学是相通的。

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设π（p*(k+1)表示不大于p*(k+1)素数个数（可以参见右图）：

------------------------------（p1-1)(p2-1)(p3-1)......(pk-1)

π(p*(k+1)=[ p*(k+1)× -------------------------------------------+k-1] 。（ 3 ）

------------------------------------------( p1p2......pk)

利用（3）式计算素数个数可以相当精确。

下面是利用（3）式计算的一些结果。

-------------------------------------------------------------------------

p(k+1) |--------- 利用（3）式计算的数值------- |---- 实际值

---3----|------------4----------------------------------|----4-----

---5----|------------9----------------------------------|----9--------

---7----|-----------15---------------------------------|----15-------

--11---|-----------30----------------------------------|---30-------

--13---|-----------39----------------------------------|---39-------

---17--|-----------60----------------------------------|---61-------

---19--|-----------71----------------------------------|---72-------

--23---|-----------97----------------------------------|----99-------

---29--|--------145------------------------------------|-----146----

----31-|----------161----------------------------------|-----162----

----37-|-----------219---------------------------------|----219-----

--101-|----------1251---------------------------------|---1252-----

------------------------------------------------------------------------------------------

上面的表格是说，例如，素数101的平方内，利用（3）式计算的是1251个素数，实际值是1252个素数。误差非常小。

仿此下去，可以求得任意大的数以内的全部素数。以上就是吴振奎教授在文章中介绍王晓明发现的素数普遍公式。南开大学的胡久念教授认为（3）式非常重要。

这个公式提示我们，素数不是越来越少，如果按自然数平方的区间计算，反而越来越多。例如：

n*-------------------(n+1)*------------素数个数

1-----------------------2---------------------2(即1的平方到2的平方有2个素数）

2-----------------------3---------------------2

3-----------------------4---------------------2

4-----------------------5---------------------3

5-----------------------6---------------------2

6-----------------------7---------------------4

7-----------------------8---------------------3

8-----------------------9---------------------4

...........................................

50---------------------51------------------11（即50的平方到51的平方有11个素数）

51---------------------52------------------15

52---------------------53------------------16

53---------------------54-------------------12

54---------------------55-------------------13

55---------------------56-------------------11

56---------------------57-------------------12

57---------------------58-------------------17

...........................................

95--------------------96--------------------20

96--------------------97--------------------22

97--------------------98--------------------22

98--------------------99--------------------23

99-------------------100--------------------21（即99的平方到100的平方有21个素数）

总的形势是越来越多。利用上面的公式证明奥波曼猜想（在正整数n*与（n*+n）之间必有一个素数）和杰波夫猜想（两个相邻奇素数平方之间至少有两对素数）已经不是什么问题了。因为，我们成功地将零散的数学概念，方法，定理编辑成为一个从基本概念到最复杂结论的网络，当然，我们只不过是继承了欧几里德的方法。

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(一）利用这个公式可以解决大部分数论难题

利用这个公式可以解决大部分数论难题，包括孪生素数猜想在【中等数学】2002.5期“从台尔曼公式谈起”，王晓明给出了哥德巴赫猜想的合理框架。即对于任何一个正整数n，是否必然存在一个X，使得（n+X）与（n-X）都是素数。因为（n+X）+（n-X）=2n。这就是著名的哥德巴赫猜想。根据除法算式定理和同余定理：“每一个整数恰与0，1，2，...，m-1中一数同于(modm)。”我们得知，任给一个整数n，都可以唯一地表示成：

n=p1m1+c1=p2m2+c2=...=pkmk+ck 。(4)

p1，p2，...，pk表示顺序素数2，3，5，...，。c=0，1，2，3，...，pi-1。[Pk的平方/2]<n<[P（K+1)的平方/2]。是否存在一个X：

X=p1h1+g1=p2h2+g2=...=pkhk+gk 。(5)

gi≠ci，gi≠pi-ci。若X〈n-2，则n+X与n-X是一对素数。

例如n=20，20=2m+0=3m+2=5m+0. （ 5的平方/2)<20<（7的平方/2）即（25/2）<20<（49/2）；

解得X=2h+1=3h+0=5h+1=21

X=2h+1=3h+0=5h+2=27

X=2h+1=3h+0=5h+3=3

X=2h+1=3h+0=5h+4=9

X的四个解中有2个小于20-2，即3和9。得知20-3与20+3是一对素数；20-9与20+9是一对素数。这个例题包含了证明的思想，必须利用一个引理，见下面的引理。彻底证明已经不困难，读者可以自己试着完成。

这是因为胡作玄教授有一个精辟的论断（他在介绍康托尔企图证明哥德巴赫猜想失败后的话）：解决哥德巴赫问题在于对素数有一个正面的刻画。

素数普遍公式就是正面的刻画，例如上面的例子：

**20=2m+0=3m+2=5m+0

(+)9=2h+1=3h+0=5h+4

----------------------------------------

=29=2m+1=3m+2=5m+4.(符合（1）（2）式，gi≠pi-ci.，相加后最小剩余不为0，所以相加后是素数。

相减：

**20=2m+0=3m+2=5m+0

(-)9=2h+1=3h+0=5h+4

--------------------------------------

=11=2m+1=3m+2=5m+1(符合（1）（2）式，gi≠ci.，相减后最小剩余不为0，所以相减后是素数。（相加相减读者可以参考“群”的概念）

证明哥德巴赫猜想就是要证明（5）式：1，x必然有解（如果最小剩余ci≠gi,ci≠pi-gi覆盖了全部剩余类就没有解）。2，x必然有小于pk平方/2的解。

利用这个公式去解决黎曼猜想也完全可能。这个方法的优越性十分明显，每一步都与前面一步有着十分清晰而明确的关系。并且可以直接导回原来的定理。

1923年哈代和李特尔伍德证明，如果广义黎曼猜想成立，（所有L（S，X）的非平凡零点都位于直线R*S=1/2上，简记（CRH），那么几乎所有的偶数都可以表示为二个奇素数之和。相反，假如哥氏猜想成立，黎曼猜想是否也可以推出？当然，一个完全正确的命题，其逆命题可能是错误的。

这个公式比黎曼素数公式所含的信息量大的多。有了素数普遍公式，哥德巴赫猜想和孪生素数猜想等数论难题都将迎刃而解。希尔伯特，沈康身（浙江大学教授）吴振奎（天津商学院教授）都是这样认为的。

（二）证明素数无穷多

已经知道有几十种证明素数无穷多的方法。可以利用素数普遍公式证明素数无穷多。

先证明一个引理：

|------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

“任何两个含连续自然数个数相等的区间，筛K次后被筛数（或者未被筛数）相差不超过K个”。|

|------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

说明：本筛法与埃拉托赛尼筛法不同，埃氏筛先用2筛，然后把2的倍数剔除掉；再用3筛，又把3的倍数剔除掉；再用5筛，.....。本筛法是已经筛过的数不马上剔除掉，而是做上标记，等全部筛完过后再把筛过的数剔除掉。于是，有一些含有几个不同素因子的数就要被筛几遍，例如“6 ”，就要被“2，”和“3，”各筛一遍。

证明：根据除法算式定理：“给定正整数a和b，b不等于0，存在唯一整数a和r，（0≤r<b.)。使a=bq+r。”得知，如果从a中筛bm形数，a个连续自然数中，最多含有q+1个bm形数，r个连续自然数中，最多含有一个bm形数。例如，a=35，b=3，35=3x11+2，35个连续自然数中，最多含有11+1=12个3m形数，例如1---35有11个3m形数，36----70有12个3m形数。

现在设某两个区间为A与B，含自然数的个数分别为|A|与|B|，|A|=|B|，下证明p去筛，两区间被筛pm形数（或者未被筛数）个数相差最多不超过1个。由上所述筛法，用顺序素数p1，p2，...，pk依次去筛，两区间每次被筛pm形数（或者未被筛数）个数相差最多不超过1个，故筛k次两区间被筛数(或者未被筛数）个数最多不超过k个。

证法1，设|A|=pm+r，则|B|=pm+r，0≤r<p，即区间A和B中均至少含有m个pm形数，又由于r<p，故r个连续自然数中至多有一个pm形数，即被筛pm形数个数相差不超过1个。

证法2，假若不然，筛k次有两个区间A与B，被筛数相差大于K，比如有K+1个，那会出现什么问题呢？我们问第K+1是个什么（见图），例如A与B用2和3去筛，如果出现了相差3个，第一个记为2m形，第二个记为3m形，问第三个（-？-）是什么形式？（每一个括号表示一个自然数）。

A：（+）。。。（+）；-------------------（-）（-）（-）（-）。。。（-）；

B：（+）。。。（+）（2m)(3m)(-?-)；--------------------（-）。。。（-）；

|---------------已经筛过部分----------------|------------未经筛过部分------------|。

如果第三个（-？-）是2m或者3m形，显然与除法算式定理矛盾；如果不是2m或者3m形，它就不应该“站在”已经筛过的行列。无论哪一种情况，假设都不能成立。证毕。证明方法2由美国Qhio-Wesleyan-University王蕊珂给出。（如果已经筛过部分A比B多K个，则未筛过部分B比A多k个，这个很好理解，正如一个故事所讲，第一辆车装了40位姑娘，第二辆车装了40位小伙子，停车时第二辆车的一部分小伙子坐上了第一辆车，第一辆车的司机不高兴了，说我只拉40个人，于是两辆车都是40个人，都有姑娘小伙，问：是第一辆车的姑娘多还是第二辆车的小伙子多？答案是显然的；第一辆车的姑娘与第二辆车的小伙子一样多)。

我们可以用公式表示：{|A1|=|A2|=...=|An|}→s(k):|Aj|-|Ai|≤k。

就是说，在连续自然数相等的区间|A1|，|A2|，...，|An|中，筛（用s表示)k 次，任何两个区间:| Aj|-|Ai|≤k。.

注：原来以为这个问题是显然的，哪知，论文发表后，江西省九江市第一中学高三级黄晶晶同学发现必须给与证明，否则就是一个漏洞，给编辑部写信。时间是2002年。小小年纪，真是不简单。后来得知，黄晶晶考入一所著名大学的数学系，经过两年多努力，才完成“任何两个含连续自然数个数相等的区间，筛k次被筛数（或者未被筛数）相差不大于k个。

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

假定最后一个素数是23，那么对于下式：

N=2m+a1=3m+a2=5m+a3=7m+a4=11m+a5=13m+a6=17m+a7=19m+a8=23m+a9。（6）

（a不等于0，若N<23*，则是一个素数，23是第9个素数).来说，就没有小于23*的解，因为N与2，3，5，7，11，13，17，19，23互素，并且大于23，我们知道没有与所有素数互素的合数，所以N必然是素数，原先假设是错误的，这是证法一。

证法二：（6）式如果有小于23*的解，就是素数，与假设矛盾，所以（6）没有小于23*的解。（1）式的同余形式：

N≡a1(mod2)， N≡a2(mod3)，N≡a3(mod5)，N≡a4(mod7)，N≡a5(mod11)，N≡a6(mod13)，N≡a7(mod17)，N≡a8(mod19)，N≡a9(mod23).。（7）

根据孙子定理，从（6）（7）式得知，（6）（7）式在2x3x5x7x11x13x17x19x23范围内有（2-1）x（3-1）x（5-1）x（7-1）x（11-1）x（13-1）x（17-1）x（19-1）x（23-1）个解。（6）（7）式的本质是从2x3x5x7x11x13x17x19x23中筛去2m，3m，5m，7m，11m，13m，17m，19m，23m形的数。共筛9次。

我们把2x3x5x7x11x13x17x19x23按(19x23)为一个区间，（注意19x23<23的平方）分成2x3x5x7x11x13x17个区间：

[1 ，19x23），[19x23+1，2x19x23），.........，[2x3x5x7x11x13x17x19x23-（19x23）+1，2x3x5x7x11x13x17x19x23）。

假如第一区间[1，19x23）无解，根据引理，其他区间的解也不会超过9个。2x3x5x7x11x13x17个区间不超过2x3x5x7x11x13x17x9个解。少于（6）（7）式固有的解（2-1）x（3-1）x（5-1）x（7-1）x（11-1）x（13-1）x（17-1）x（19-1）x（23-1）。一一对应，（23-1）对应9；（19-1）对应17；（17-1）对应13，（13-1）对应11；（11-1）对应7；（7-1）对应5；（5-1）对应3；（3-1）对应2。

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

（2-1）|（3-1）|（5-1）|（7-1）|（11-1）|（13-1）|（17-1）|（19-1）|（23-1）|

|-------------2-----|----3----|----5----|-----7-----|-----11----|----13---|-----17----|----9------|

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

每一项都是上面大于或者等于下面，说明原先假设23是最大的素数是错误的，他造成了与（6）（7）式的矛盾，而

（6）（7）式的解数目是由孙子定理得出的。与孙子定理矛盾必然是错误的。这是利用抽屉原则，（2-1）x（3-1）x（5-1）x（7-1）x（11-1）x（13-1）x（17-1）x（19-1）x（23-1）是抽屉，2x3x5x7x11x13x17x9是信封，信封少于抽屉，说明至少有抽屉没有信封。证毕。

证法二虽然繁琐（绕圈子），但是一个强有力的工具（归谬法）。假如在第一区间无解，就会造成总的解数目少于公式固有的解的数目，而固有解的数目是由孙子定理得出的。这个方法移植到孪生素数证明上，同样有效。

(三）组装素数

。在例题中，当k=4时，我们发现，根本不需要计算，只有添进数字就可以了，当k=5时，有480个解，如果用埃氏筛，或者进行计算，哪怕是欧拉或者高斯这样的巨匠，也要几个小时，如果编成程序，一秒钟也用不了。人类已经不需要依赖埃拉托赛尼筛法计算素数。只有利用一个模具。

（四）解释问题

可以说明

1，台尔曼素数公式。（参见“从台尔曼公式谈起”《中等数学》2002年5期)

2,福蒂恩猜想。剑桥大学人类学家福蒂恩发现：

若与p1p2....pn+1

(p1,p2,....是顺序素数2，3，5，，，，）相继的下一个素数为q,则q-p1p2p3....pn也是素数：

2+1=3，5-2=3；

2x3+1=7,11-6=5;

2x3x5+1=31,37-30=7,;

2x3x5x7+1=211,223-210=13,

............

利用公式可以清晰地解释福蒂恩猜想。

（五）孪生素数及其猜想

公式　孪生素数有一个十分精确的普遍公式，是根据一个定理：“若自然数Q与Q+2都不能被不大于根号(Q+2)的任何素数整除，则Q与Q+2是一对素数，称为相差2的孪生素数。这一句话可以用公式表达：

Q=p1m1+b1=p2m2+b2=....=pkmk+bk . 。(8)

其中p1，p2，...，pk表示顺序素数2，3，5，....。b≠0， b≠pi-2。(即最小剩余不能是0和pi-2.。不能是2m，3m，5m，...，pkm形，不能是3m+1，5m+3，7m+5，....，pkm-2形）。若Q〈P*（k+1)-2 [注：（k+1)是脚标]，则Q与Q+2是一对孪生素数。

例如，29，29和29+2不能被不大于根号（29+2）的任何素数2，3，5整除，29=2m+1=3m+2=5m+4， 29〈49-2(即7*-2）所以29与29+2是一对孪生素数。

上式可以用同余式组表示：

Q≡b1(modp1)，Q≡b2(modp2)，...，Q≡bk(modpk)。(9)。

由于（9）式的模p1，p2，...，pk两两互素，根据孙子（中国剩余）定理，对于给定的b值,（9）式在p1p2...pk范围内有唯一的解。例如29，

29≡1(mod2)，29≡2(mod3)，29≡4(mod5)。29小于7的平方减2，即49-2。所以29是一个素数。29在2×3×5=30范围内有唯一解。

例如：

k=1时，Q=2 m+1，解得Q=3和5，5<3*-2，得知3与3+2，5与5+2是两对孪生素数。从而得到了3,3*)区间的全部孪生素数。

k=2时，Q=2m+1=3m+2。解得Q=5，11，17。17<5*-2，得知11与11+2，17与17+2是孪生素数对，从而得到（5，5*)区间的全部孪生素数。

k=3时，

*********************|----5m+1-----|-5m+2-|-5m+4-|

---------------------------------------------------------|

Q=2m+1=3m+2=|-11-，-41-；|---17---|---29---|

---------------------------------------------------------|

从而求得了（7，7*）区间的全部孪生素数对。

k=4,时，解得：

******************************|-7m+1-|-7m+2-|-7m+3-|-7m+4-|-7m+6-|

Q=2m+1=3m+2=5m+1=|---71---|--191--|--101---|---11--|----41--|

Q=2m+1=3m+2=5m+2=|--197--|--107--|---17----|--137--|--167--|

Q=2m+1=3m+2=5m+4=|---29--|--149--|----59----|--179--|--209--|

---------------------------------------------------------------------------------------

求得了（11，11*）区间的全部解。

仿此下去，可以求得任意给定的数以内的全部孪生素数，并且一个不漏地得到。

注意，在k≥4时，利用表格，我们不需要通过计算，或者埃拉托赛尼筛法求得解，而是只要填写即可。表格的数字十分有规律。人类已经不依赖埃氏筛。可以通过组装或者克隆素数。这对大数密码是一个强烈的冲击。

由于b≠0,（8）（9）式的本质就是从p1p2p3....pk中筛去p1m，p2m，...，pkm形的数k次;；由于b≠pi-2，(8)，(9)式是从p1p2p3...pk中筛去p1m-2，p2m-2，p3m-2，....，pkm-2形的数k次，共筛2k次。

孪生素数猜想就是要证明（8）式或者（9）式在k值任意大时都有小于p*{k+1)-2的解。详细情况可以参见“百度百科”词条“孪生素数普遍公式”，以及“素数普遍公式”。利用（8）（9）式证明孪生素数猜想变得十分容易，希尔伯特等数学家都是这样认为的.

根据孙子定理得知，（1）（2）式在p1p2p3...pk范围内有：

(2-1)×(3-2)×(5-2)×....×(pk-2)。（3）

个解。（p后面的1，2，3，...，k是脚标）。

孪生素数的筛法就是在埃拉托塞尼的筛后再筛去pm-2型的数。

关于孪生素数猜想

孪生素数猜想就是要证明K值任意大时（1) 式（2）式都有小于p*k的解。有了这个孪生素数普遍公式，证明孪生素数问题就像做一道中学数学题一样容易。

这是希尔伯特说的，因为孪生素数公式把孪生素数猜想转化成一个初等数论问题。事实上也是这样。例如，

假设最后一对孪生素数是59与61，那么对于下式：

Q=2m+b1=3m+b2=5m+b3=....=53m+b16=59m+b17=61m+b18. （10）

(61是第18个素数)。

来说，就没有小于67*-2的解。b≠0， b≠pi-2。若Q<67*-2，则Q与Q+2是一对孪生素数。（10）式可用同于式组表示：

Q≡1（mod2)，Q≡2(mod3)，...，Q≡b17(mod59)，Q≡b18(mod61)。（11）

根据孙子定理，（10）式（11）式共有：

（2-1）×（3-2）×（5-2）×（7-2）×........×（59-2）×（61-2）。（12）

个解。

注意（10）式，Q与(Q+2)与2，3，5，.......，53，59，61互素。并且大于2，3，5，.......，53，59，61。如果Q<67*-2，则Q与（Q+2）

是一对大于61的孪生素数。既然我们已经假设了最大的孪生素数是59与61，那么（10）（11）式肯定没有小于67*-2的解，如果Q小于67*-2，则Q与（Q+2）是一对孪生素数。

可以分为几个步骤证明：

{1}：我们将2×3×5×7×....×53×59×61按59×61划分为一个区间：

[1，59×61]，[59×61+1，2×59×61]，...,，[（2×3×5X...X59×61）-（59×61）+1，2×3×5×....×59×61]。

共有2×3×5×....×53个区间。因为（10）（11）式的本质是从2×3×5×...×53×59×61范围内筛去 2m，3m，5m，...，53m，59m，61m形的数(筛k次）和2m-2，3m-2，5m-2，7m-2，...，53m-2，59m-2，61m-2形的数(筛k次）共2k次。

{2}：既然67*-2没有解，我们只要证明：如果第一区间[1，59×61]无解，即67*-2内无解，（因为59×61<67*-2），[也就是（4）（5）式在p*k内无解]。其它区间解的数目就不会超过2k个（此时k=18,，61是第18个素数)。（见上面的“引理”）。

{3}：[（2×3×5×…×47×53）×2×18]<[（2-1）×（3-2）×（5-2）×…×（59-2）×（61-2）]。

一一对应：右式在上，左式在下，(61-2)对应(2x18)，(59-2)对应53，(53-2)对应47，(47-2）对应43，（43-2）对应41，（41-2）对应37。

[(2-1)X(3-2)X(5-2)X(7-2)X(11-2)X(13-2)X(17-2)X...X(37-2)X(41-2)X(43-2)X(47-2)X(53-2)X(59-2)X(61-2)]

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------>2。

[2X3X5X7X11X13X17X19X23X29X31X37X41X43X47X53X(2×18)]。

前面：

（2-1)X(3-2)X(5-2)X(7-2)X(11-2)X(13-2)X(17-2)X(19-2)X(23-2)X(29-2)X(31-2)X(37-2)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------=1.086

2x3x5x7x11x13x17x19x23x29x31

后面每一项分子大于分母。

由于右式比左式多2项，所以造成：

{4}：每一项都是上端大于下端或者等于下端。造成了下端假设解的数目少于（10）（11）式固有的解（上端的数目（2-1）×（3-2）×（5-2）×....×（53-2）×（59-2）×（61-2），而上端解的数目是根据孙子定理得出的，与孙子定理相矛盾必然是错误的, 所以原先假设最后一对孪生素数是59与61是错误的。。这就是利用抽屉原则这个铁一样的定理，（（2-1）x(3-2)x(5-2)x(7-2)x...x(59-2)x(61-2)就是抽屉，2 x3x5x7x...x53x(2x18)就是信封，信封少于抽屉，至少有抽屉没有装上信封。

{5}这个证明是什么意思呢？就是说，如果假设59与61是最大的孪生素数，那么在（4）（5）式，就没有小于67*-2的解，即第一区间（1，59×61）内无解，如果第一区间无解，其它区间的解就会少于2k个，即2×18=36个。这样就出现了与假设的矛盾，因为（10）（11）式的解是一个绝对的数目（即（12）式），他是由孙子定理得出的。与孙子定理矛盾显然是错误的，所以假设59与61是最大的孪生素数是不对的。

这个方法的优越性十分明显，可以避免循环论证，每一步都与前面一步有着十分清晰而明确的关系。并且可以直接导回原来的公式。（六）黎曼假设中的素数公式来自埃拉托塞尼筛法　　有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。　　1730年，欧拉在研究调和级数：　　Σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。(13)　　时，发现：　　Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)......=Π(1-1/p)^-1。(14)　　其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n^s(s>1),即可。如果黎曼假设正确：　　Π（x)=Li(x)+O(x^1/2*logx).。(15)　　证明了上式，即证明了黎曼猜想。　　为什么：　　π1/(1-1/P)={1/(1-1/2)}×{1/(1-1/3)}×{1/(1-1/5)}×.......=Σ1/n=1+1/2+1/3+1/4+,,,,。(16)　　因为：　　1/(1-r)=1+r+r^2+r^3+r^4+......。（17）　　所以：　　1/(1-1/2)=1+1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+......　　1/(1-1/3)=1+1/3+(1/3)^2+(1/3)^3+(1/3)^4+......　　1/(1-1/5)=1+1/5+(1/5)^2+(1/5)^3+(1/5)^4+.......　　.......................................　　右端所有第一项的“1”相乘得到：“1”；　　右端第一行1/2与其它行第一项的“1”相乘得到“1/2";　　...................　　把所有加起来就是：1+1/2+1/3+1/4+........　　在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。　　　有人发现埃拉托塞尼筛法的公式【即(1)(2）式】反过来可以推出黎曼猜想的猜想。因为只要把两个式子连接起来，就可以研究。现在还没有找到这个纽带，但是已经有共同的内容联系起来：　　以下内容可以参见任何一本有关黎曼猜想的书籍，下面内容摘自《素数之恋》第100页。　　黎曼猜想的基本来源是埃拉托塞尼筛法。埃氏筛大家都熟悉，我们就省略了，下面是某个大于1的*函数。（原文章用s，由于s不好表示右上标，所有这里我们用“*”表示）　　ζ（*）=1+1/2*+1/3*+1/4*+1/5*+1/6*+.....。（18）　　（注意，这里“*”表示右上角标）。　　在等号两边乘以1/2*由幂运算规则得到：　　1/2* ζ(*)=1/2*+1/4*+1/6*+1/8*+1/10*+1/12*+.....。（19）　　我们从第（8）式子减去第二个式子，在左边我有一个ζ（*），又有它的1/2*,做减法得：　　（1-1/2*)ζ(*)=1+1/3*+1/5*+1/7*+1/9*+1/11*+1/13*+1/15*+....。（20）　　这个减法从那个无穷和中去掉了所有偶数项。　　现在我们在等号两边乘以1/3*,而3是右边第一个还没有去掉的数：　　1/3*(1-1/2*)ζ(*)=1/3*+1/9*+1/15*+1/21*+1/27*+1/33*+1/39*+....。（21）　　我们再做减法得：　　（1-1/3*)(1-1/2*)ζ(*)=1+1/5*+1/7*+1/11*+1/13*+1/17*+1/19*+1/23*+....。（22）　　3的所有倍数都从那个无穷和中消失了，右边还有第一个没有被去掉的数是5，如果我们两边都乘以1/5*,结果是：　　1/5*(1-1/3*)(1-1/2*)ζ(*)=1/5*+1/25*+1/35*+1/55*+1/65*+1/85*+1/95*+1/115*+...。（23）　　现在从前面那个式子减去这个等式得：　　（1-/5*)(1-1/3*)(1-1/2*)ζ(*)=1+1/7*+1/11*+1/13*+1/17*+1/19*+1/23*+...。（24）　　我们继续下去，对于大于1的任意*，左边对每一个带括号的表达式，并向右边一直继续下去，对这个式子的两边都依次逐个除以这些括号，我们得到：　　ζ（*）=[1/(1-1/2*)]×[1/(1-1/3*)]×[1/(1-1/5*)]×[1/(1-1/7*)]×[1/(1-1/11*)]×....。（25）　　即：　　（18）式=（25）式　　这就是重复埃拉托塞尼筛法的过程。　　由于黎曼猜想与（1）（2）式都是来自埃拉托塞尼筛法，有共同的来源，所有我们有理由相信，解决黎曼问题可以利用（1)(2)式，只是我们现在还差一个环节。（王晓明王蕊珂）

编辑本段

埃拉托赛尼筛法是一个相对独立的实践活动，而埃拉托赛尼的素数普遍公式是一种理论。（实践先于理论，实践是理论的源泉）。如果实践是对的，行之有效的，那么他可以作为论据支持公式。公式的对与错，看他是否与方法吻合，（与经验事实相吻合）。方法是公式的内容，公式是方法的理论。在理论的内容是真的前提下，公式是可靠的，一个公式能够产生出来，表明具有了相应的三大条件：一，相应的观念和方法已经产生；二，相应的实践条件和手段已经具备；三，科学劳动者能够正确无误地进行操作。

方法只有借助公式才能获得确定的含义，方法是构成公式的成分。公式是具有一定结构的整体，这是公式自身存在与发展的前提。公式是一种体系化和逻辑化了的认识，而体系化规范化的方法是公式的灵魂。理论和公式的意义恰恰不在于他的形式，而在于他形成之后的运行。在于他作为某种因素而导出另外的结果。

公式是方法的收集，方法的反应。仅有方法，无法拓展新的实践和认识，生命力受到局限，只有借助于公式才能向更深层次参透，因为方法是一个层次，他主要是描述性的，例如，埃拉托赛尼筛法是怎样寻找素数。而公式是理论认识，说明“为什么”，相对来说，他超过了个别。

人以理论的方式，观念地把握世界，人以“公式”的形式，观念地把握方法。就公式产生和存在的意义和使命而言，就是要朝着实践方向作认识总过程的再认识（再次飞跃），以创造还未知的外部世界。总之，只有在一切解释皆真的公式，才能算普效的公式，或者逻辑真的公式。要判定一个公式是否可推演出，即是否可证，这是纯形式的问题；要断言一个公式是否真，必须依赖公式以外的解释和模型------即这个公式和方法是否可以做等价转换。

下面谈谈素数普遍公式的一些具体作用：

（一）素数普遍公式是素数定理（若N不能被不大于根号N的任何素数整除，则N是素数）和埃拉托赛尼筛法的表现形式，表明在一定条件下和范围内[P（k+1)平方]主观和客观上的符合。因而是科学真理的一种表现形式。素数普遍公式提供了广泛的概念框架，并且概括出其中普遍的不变关系。

（二）素数普遍公式有助于科学概念和素数理论的形成。素数普遍公式是明确其他科学概念（例如哥德巴赫猜想）的一种有效手段。将来许多科学概念的内涵都会通过素数普遍概念公式表现出来，在素数理论中，素数普遍公式起着极大的作用，他是核心和灵魂。

（三）素数普遍公式有解释和预见功能，由于素数普遍公式是从整体上解释素数性质的，所以常常是演绎推理模型中的大前提（全称），也是预见的先行条件。

（四），在数学论证中，数学证明的本质是用有限驾驭无穷，必须首先找出无穷对象的规律，用公式概括起来，既正面刻画后，才能去证明更深刻的问题。总之，没有素数普遍公式，就不能去催促新的思想。例如有些人用复变函数把简单的素数理论弄的面目全非，违背了事物的真实性，造成了惊心动魄的场面却解决不了实际问题。正如冯。诺伊曼指出的那样：“当一门数学离他的源泉越远，他就变的愈加娇柔造作。

欧几里德是第一个提出素数普遍公式的人，为此，人类这一步却跨越了两千年，这是值得深思的。

希尔伯特对数学成果的评价，那些能把过去统一起来而同时又为未来的拓展开辟了广阔的道路的概念和方法，应该算是最为深刻的概念和方法。素数普遍公式就是一种承上启下，继往开来的思想。令人欣喜的是，自从素数普遍公式发表后，已经有好几篇相关论文发表，为最终解决黎曼猜想等难题做好了基础。我们要想认识素数，就不得不向这个理论屈服。这个方法也许将直接导致大数密码的崩溃，西方数学家在与军方合作时时关注素数研究的进展，我们也应该引起注意。

有网友说“这其实就是埃拉托赛筛法的延伸”，说的非常正确。200万年前，人类中的一员，用手中的木枝，接燃了野火，去点燃预先准备好的柴火，人类第一次主观地利用了火，我们发生了质变。埃氏筛就是野火，我们用（1）式接燃了它，去点燃（2）式。从此，数论将发生质变。

六。素数普遍公式的名称来源

素数普遍公式是美籍俄罗斯人乔治。伽莫夫，在1946年的著作《从一到无穷大》提出的，他还提出过“宇宙大爆咋”理论。

这真是：

两千年期待，姗然迟来。 ----------------|------ 数百位豪杰，尽倾心血。

仰天长叹，空荡荡青春虚度。------------|-------低头沉思，实在在光阴耗尽。

看欧几里德，一筹莫展。------------------|-------思费马玄构，欧拉神算。

艾拉托塞，搜遍骷肠，一声感慨。-------|-------高斯雄才，黎曼假设，无言等待。

天之轿子，何必选此绝路。---------------|-------丰功伟业，愚公岂能移山。

想哈代力博，拉马努贾英年逝。---------|-------绞无尽脑汁，勾不完质数变换。

更雄心勃发，“充分大”忽悠天下，---|-------有几路英雄，“殆素数”兵不厌炸。

莫等闲富贵蒸发岁月流尽虚度年华。---|-------只赢得虚名假誉轻艳浮靡一枕黄梁。

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1、为什么欧拉素数公式f(m)=㎡+m+41,，当m≥40时，就不灵了？。

2、你能够利用公式编出排列素数的程序吗？

3、你能够证明㎡+1形式的素数有无穷多吗？

扩展阅读：

1.吴振奎【中等数学】1999.2 谈谈素数表达式。

2.陈志云【中等数学】2001.4 关于一个寻找素数方法的理论依据。

3.淑生【自然】1991.11 有表示所有素数的公式吗

4.王晓明【中等数学】2002.5 从台尔曼公式谈起

5.王晓明 [中等数学]2001.2 素数个数问题的三种新证法

6.《数学大师的创造与失误》43页，44页。天津教育出版社2003年第一版，2007年第二版。

7.维基百科【素数公式】词条。素数定理　　素数定理描述素数素数的大致分布情况。素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数x，定义π(x)为不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。 π(x)≈x/ln x 其中ln x为x的自然对数。上式的意思是当x趋近∞，π(x) 和x/ln x的比趋近1（注：该结果为高斯所发现）。但这不表示它们的数值随着x增大而接近。下面是对π(x)更好的估计： π(x)=Li (x) + O (x e^(-(ln x)^(1/2)/15)，当 x 趋近∞。其中 Li(x) = ∫(dt/ln x2,x)，而关系式右边第二项是误差估计，详见大O符号。

素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计： :p(n)～n/ln n. 它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。这定理的式子於1798年法国数学家勒让德提出。1896年法国数学家哈达玛(Jacques Hadamard)和比利时数学家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。因为黎曼ζ函数与π(x)关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家Helge von Koch证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进为 :π(x)=Li (x) + O (x^(1/2) ln x) 至於大O项的常数则还未知道。

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以前（x^2）处的的素数

x^2 * (Pn-1)# /Pn# + n -1

现在（Pn#）处的素数

(Pn-1)# +n -1

两者的误差

要想两式

x^2 * (Pn-1)# /Pn# + n -1 == (Pn-1)# +n -1

恒等于，质数中x只有一个2的数没有误差:

x^2=Pn#

x=√ (Pn#)

证明正确的都是化简到了质数=2上面了，其他的都有误差，虽然通过化简都正确，但是质数分布是不对称的！我们不能吧质数分布当作自然数方程去处理！所以后来用（ x^2 * (Pn-1)# /Pn# + n -1）去求质数的值都出现了误差，特别是经过化简的公式更是如此。

质数公式得出：(Pn#+4)/2,(Pn#-4)/2等一定是质数！

生成图表

(1,2,…,(P(n+1)-1)/2)

12345

P=素数（prime number），

! (P(n+1)+ *(P(n+1)+,P(n+1)+…)

Pn#23

2*36_1511

6+1713

2*3*530-1317477*11= !(P(n+1)+ *(P(n+1)+,P(n+1)+…)

30-11197*779

30-7235383

30-1295989

30+131617*13

30+7376797

30+114171101

30+134373103

210

2*3*5*7210-103107317527737947

210-101109319529739949

...

210-111994096198291039

210-12094196298391049

210+12114216318411051

210+112214316418511061

...2234336438531063

210+1013115217319411151

210+1033135237339431153

2310......

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素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明於1949年由匈牙利数学家保罗·艾狄胥（“爱尔多斯”，或“爱尔多希”）和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的「深度」。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。这是凭感觉说出来的，觉得一些方法比别的更高等也更厉害，而素数定理的初等证明动摇了这论调。Selberg－艾狄胥的证明正好表示，看似初等的组合数学，威力也可以很大。但是，有必要指出的是，虽然该初等证明只用到初等的办法，其难度甚至要比用到复分析的证明远为困难。

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个数

质数的个数是无穷的。最经典的证明由欧几里得证明在他的《几何原本》中就有记载。它使用了现在证明常用的方法：反证法。具体的证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1,p2,…,pn，设 x = (p1·p2·...·pn)+1，如果x是合数，那么它被从p1,p2,...,pn中的任何一个质数整除都会余1，那么能够整除x的质数一定是大于pn的质数，和pn是最大的质数前提矛盾，而如果说x是质数，因为x>pn，仍然和pn是最大的质数前提矛盾。因此说如果质数是有限个，那么一定可以证明存在另一个更大质数在原来假设的质数范围之外，所以说质数的个数无限。

费马数2^(2^n)+1

被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)+1，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=4294967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。这便是费马数。但是，就是在F5上出了问题！费马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：

F5=4294967297=641×6700417，它并非质数，而是一个合数！

更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。这可是个超级天文数字，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。

梅森质数

17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1 ，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。 p=2，3，5，7时，2^p-1都是素数，但p=11时，所得2047=23×89却不是素数。

还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721×761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。

现在，数学家找到的最大的梅森质数是一个有9808357位的数：2^32582657-1。数学家虽然可以找到很大的质数，但质数的规律还是无法循通。