中西文化差异溯源——从数学史讲起（第二讲）

上讲回顾：

上一讲我们从乌鸦数数的故事开篇，引入古希腊文明。我们着重介绍了希腊从实践到理性的第一人、哲学之父、开数学论证先河的泰勒斯。然后我们介绍了用形表示数、解释运算规律的毕达哥拉斯。今天我们从毕达哥拉斯说起。我们先来回忆一个熟悉的定理：

北京科技馆的这个装置很有趣，你知道它是什么意思吗？

对的，就是直角三角形两直角边的平方和（两个小正方形的面积和）等于斜边的平方（大正方形的面积）。这就是著名的勾股定理，在国外称为毕达哥拉斯定理。今天我们主要围绕这一内容展开：

中西文化差异溯源（第二讲） 来自RECREATION收获园 00:00 21:28

（一）勾股定理教学问题

这张邮票上的图片大家是否熟悉？在我读初中的时候老师会用一个教具演示给我们看：如何将上面边长为3的小正方形和边长为4的小正方形的面积拼成下面一个边长为5的小正方形，由此引出直角三角形两直角边的边长和等于斜边的平方。

上个世纪90年代开始提倡让学生动手，学生小组拼拼图或是画画、量量、算算，验证直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。通过动手拼图，学生的兴趣自然提升了，可是否真的促进了学生数学思维能力的提升呢？似乎还未必如此，显然两个小正方形的小格子刚好能拼成一个大正方形，随便你怎么拼都可以成功，所以在这里的动手“体验”的成分远远大于探究的成分。另一方面“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的猜想是老师提出的，学生做的“画画、量量、算算”的过程其实都是学生在老师的指令下完成的，学生只是被动地动手，而缺少主动地由情境提炼数学模型、归纳得出数学猜想、设计解决思路、验证并反思的过程，而且“画画、量量、算算”不仅有测量误差，如果不是整数手算还比较繁琐，由于一般这类操作都是验证型的，不存在多少悬念，学生兴趣并不高。

本世纪初有了几何画板，我带学生进入电脑房，通过画直角三角形，用画板的“测量”功能测量三边并计算其平方，拖动三角形的顶点观察数字的变化规律，对比任意非直角三角形，得出直角三角形的三边关系。这样似乎给了学生更多操作的主动权，学生的操作也突破了特殊情况，可以得到更一般的结论猜想。可学生的操作依然是藏在老师的预设之后，即为什么直角三角形的三边是平方之间的关系而不是其他呢？

是否存在那样一种情境，可以让学生自己生成一种直角三角形三边关系的猜想？当我们回溯到人类数学起步之初，那时的人们是如何发现这一规律的呢？这最初的情境是否有助于学生自己发现这一关系呢？

（二）由观察地砖得到的结论

数形结合是初中数学学习过程中重要的数学思想方法之一。毕达哥拉斯大约是“数形结合”最早的集大成者。上讲提到的三角形数、正方形数等是他“以形来解释数”的典范，此外他还精通用“数”来解释“形”乃至解释“万物”。

据传说有一次毕达哥拉斯应邀参加餐会，豪华宫殿般的餐厅铺的是美丽的正方形大理石地砖，这位善于观察和理解的数学家凝视脚下这些美丽的、排列规则的方形瓷砖，想到它们“数”之间的关系，于是选一块瓷砖，以它的对角线为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和（如上图）。

他很好奇，于是换一个形状，再以两块瓷砖拼成的矩形对角线作另一个正方形，他发现这个正方形面积等于5块瓷砖的面积，也就是以两直角边为边作正方形面积之和。至此他大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。这就是后来著称于世的毕达哥拉斯定理。

事实上毕达哥拉斯定理也并非毕达哥拉斯最早发现的，而西方人称其为毕达哥拉斯定理的重要原因在于毕达哥拉斯及其学派用演绎法证明并发展了这个定理。

据说古埃及的农业赖尼罗河而生，但尼罗河学潮又会淹没土地，于是需要有精确的土地测量技术以保障税收的公平。于是测量术非常发达，埃及人最早用绳子围成矩形的面积，并得出结论以此矩形对角线为边的正方形面积等于以矩形两直角边为边的正方面积之和。这个与地砖的问题应该是异曲同工之妙吧。

这个定理是世界上证明方法最多的定理，全世界已发现的证明有500种以上。1940年卢米斯的《毕达哥拉斯定理》第二版收录367种方法。

上图应该是老师们比较熟悉的一幅图，我读初中时学的应该是这个经典的希腊证明，被人们亲切地称为“风车”，它用了经典的希腊演绎推理。

借助现代的动画技术，原本较为繁琐的几何证明过程可以变得直观而神奇。也就是为个图，成为勾股定理的代表，很多纪念勾股定理的邮票上都用了这个风车的模型。这个图在后面的推广中还有非常重要的意义，这里先不展开。

1876年4月，美国的加菲尔德在波士顿周刊《新英格兰教育杂志》上发表了这个利用梯形面积公式证明这一定理的别开生面的证法：梯形面积=(a+b)(a+b)/2,同时它又是三个三角形的面积和=ab+c²/2,于是可得a²+b²=c²，于是得证。1881年他当选为美国第二十届总统，于是他的证明成为人们津津乐道的一段轶事。这个图，是学生非常熟悉的经典的图形“一线三等角”，学生一定会对这个图非常亲切。

由于本文的目的不是研究定理的证明，这里只点到为止。只是想说明从毕达哥拉斯开始到现在，有多少不同职业的人衷情于此，可见这个定理的魅力和影响力。

毕达哥拉斯定理的发现还引起数学史上一次危机，后文再讲。我们来看其他相关的结论。

与毕达哥拉斯定理相关的还有

“毕达哥拉斯数”：满足方程a²+b²=c²的正整数解（勾股数组）。《几何原本》中给出了找到所有毕达哥拉斯数的方法：设c = (p²+ q²)r，a = (p²- q²)r，b = 2pqr，只要令p, q, r取遍所有正整数，即可得到所有的毕达哥拉斯数。

有趣的是，当n > 2时，aⁿ + bⁿ = cⁿ 没有非平凡的整数解（平凡指a，b中有一个为0），这就是著名的费马大定理。这个定理在17世纪由费马提出并声称找到一个非常简洁的证明，但没有给出。这个看似非常简单的定理，它激起了很多数学家的兴趣，在证明过程中很多新的理论被提出，极大推动了数论的发展。但这个猜想一直到358年之后的1995年才被剑桥大学的英国数学家安德鲁·怀尔斯证明，所用到的数论知识已经远超出了费马时代。

“毕达哥拉斯树”：是毕达哥拉斯据毕氏定理画出来的一个可以无限重复的图形。因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。因为直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方所以图中每一组相邻的三个正方形中，两个小正方形面积的和等于大正方形的面积。以最大的一个正方形为第一层，上面两个为第二层，再上面的四个为第三层，依次类推，而同一层上的所有小正方形面积之和等于最大正方形的面积。根据所做的三角形的形状不同，重复做这种三角形的毕达哥拉斯树的“枝干”茂密程度就不同。

在几何画板软件的演绎下，动态的毕达哥拉斯树更是显示出勃勃生机。这种由几何图形迭代变换生成各种图形，成为一个新的数学分支：分形。

其他推广：这一定理的推广也是异常的丰富。

由直角三角形一般化得到余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则：

a² = b² + c² - 2bccosA

b² = a² + c² - 2accosB

c² = a² + b² - 2abcosC

从平面到立体可以得到立体勾股定理：如下图，已知长方体柜子的长、宽、高，求柜子里可以放得下的物品的最大长度。或者棱锥中的重要数量关系，都与勾股定理相关。

从“风车”证明的图形中，把向外的正方形改成任意相似的相似的图形都满足以直角边向外作的两个小图形的面积和等于以斜边向外作的图形的面积。

再近一步，以直角三角形三边向外作半圆，两个红色半圆的面积和等于一个绿色半圆的面积。下面来变一个“魔术”，将绿色的半圆向上翻折，你能得出怎样的结论？

     

因为绿色半圆的面积等于红色半圆的面积，把两部分重叠的部分减去，得到两个红色“月牙”的面积和等于原图中直角三角形的面积。得到古希腊著名的月牙定理，为什么说这个月牙定理非常重要呢？古希腊有一种数学游戏叫尺规作图——用无刻度的尺和圆规作各种几何图形，尺规作图有三大难题，而“化圆为方”是其中之一，即求一个和已知圆的面积相等的正方形。把曲线图形的面积转化为直线图形的面积，这确实让人们无从下手，而月牙定理让古希腊数学家们对“画圆为方”的问题的解决看到了希望。

无理数的发现：地砖的问题不只是给毕达哥拉斯学派带来非凡的辉煌，事实上也给毕达哥拉斯学派以沉重的打击。毕达哥拉斯学派信奉“所有的数都可以写成两个整数比的形式”，然而毕达哥拉斯的一个学生发现：以1为直角边的直角三角形，斜边无法表示成两个整数比的形式，这一事实无疑动摇了毕达哥拉斯学派的根基，成为数学史上第一个撼动其基础的难题，形成第一次数学危机。数学史上目前公认的数学危机有三次，每一次“危机”其实从长远上都起到极大的推动作用，促进了数学的转向与发展。然而从危机当时来讲，希腊人选择了回避危机问题的路，从而限制了希腊几何学的代数化之路。

关于无理数的发现有很多传说，韩国作家以此为背景写了一部小说非常热销，大家有兴趣不妨一读，不过提醒大家这本只是小说啊！

让我们再来回顾一下毕氏学派的发现之旅：从铺地砖的问题，不只发现了毕达哥拉斯定理、毕达哥拉斯数、毕达哥拉斯树，甚至发现了无理数导致了第一次数学危机的产生。他还发现了可密铺的各种图形的可能，我们无法考证其他的发现是否由此生长而出，但显然，从简单的事实出发的深入地、反复地、持久地思考，是他的团队不断突破的法宝。即便是最终给他以痛击的无理数的发现，仍然没有跳出“地砖”这一简单事实。其实我们的身边并不是缺少与数学相关的元素，只是我们还缺少这样地深入而持久的关注。

毕氏学派继承了泰勒斯的演绎传统，坚持数学论证必须从“假设”出发，开创演绎逻辑思想，对数学发展影响很大。在几何学方面，据说他们证明了“三角形内角之和等于两个直角”的论断；能算出你若要用瓷砖铺地，则只有用正三角、正四角、正六角三种正多角砖才能刚好将地铺满；研究了黄金分割；发现了正五角形和相似多边形的作法；还证明了正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。也有人认为欧几里得的《原本》前两章的内容大部分来自毕达哥拉斯学派。但因为毕达哥拉斯学派的成果共享和保密原则，我们暂时还无法确切地考证出究竟哪些成果归毕达哥拉斯、哪些成果是其团队的首创。但其后的智者学派、柏拉图学派对数学、对几何的热爱与传播，无疑由毕达哥拉斯而始。

（三）以思考关注生活

首先带给大家一段由数学演绎的音乐：http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MjM5MDY4OTY4MA==&mid=2649722305&idx=1&sn=5eb744dfff27dc52e3346a7bf1bdc785&mpshare=1&scene=1&srcid=0415X7KSb3eqIvcm4RZqo7ND#rd

最早把音乐和数学联系起来的是毕达哥拉斯。传说一次毕达哥拉斯走过铁匠铺，打铁的和谐声音吸引了他，他站着听了好久，发现声音高低与铁锤的重量有关。于是他比较了不同重量铁锤发出不同谐音之间的比例关系，从而测定了各种音调的数学关系，并从音乐和声中发现了宇宙和谐论。

他用实验证明，如果两弦长度之比为1:2可以得到8度音，2:3可以得到5度音，3:4可以得到4度音，有没有一个比可以把这三个比联系起来呢？那就是6:4:3，此时用三条弦发出某一个乐音以及它的第五度音和第八度音，即和谐音。从这三个数中我们可以找到一个新的平均数形式：调和平均数，因而也有资料说毕达哥拉斯还发现了算术平均数、几何平均数和调和平均数这三大平均数。毕达哥拉斯用数学研究乐律，而由此所产生的“和谐”的概念也对以后古希腊的哲学家有重大影响。

毕达哥拉斯还通过说明数和物理现象间的联系，来进一步证明自己的理论。在宇宙论方面，毕达哥拉斯结合了米利都学派以及自己有关数的理论。他认为存在着许多但有限个世界。他从球形是最完美几何体的观点出发，认为大地是球形的，提出了太阳、月亮和行星作均匀圆运动的思想。他还认为十是最完美的数，所以天上运动的发光体必然有十个。毕达哥拉斯学派认为由太阳、月亮、星辰的轨道和地球的距离之比，分别等于三种主要的和音，即八音度、五音度、四音度。下图是网上搜到的毕达哥拉斯的宇宙模型。

毕达哥拉斯学派的徽章是一个五角星，如下图：

这个神秘的五角星也让人们浮想连篇，因为五角星同一直线上的各线段满足黄金分割，而且其中的每一个三角形都是黄金三角形，因而人们认为把它作为徽章说明毕达哥拉斯学派发现了与黄金分割相关的一些结论。而黄金分割是现代公认的美学理论基础，是文艺复兴时期艺术发展的基石。对此我们不得不感慨：毕达哥拉斯学派真的是用数学在解释音乐、美术以及宇宙、万物。

毕达哥拉斯学派认为从数量上看，夏天热，冬天冷，春天干，秋天湿，最美好的季节是冷、热、干、湿等元素在数量上和谐的均衡分布。毕氏学派从数量上的矛盾关系列举出有限与无限、一与多、奇数与偶数、善与恶、明与暗、直与曲、左与右、阳与阴、动与静、正方与长方等十对对立的范畴，其中有限与无限、一与多的对立是最基本的对立，并称世界上一切事物均还原为这十对对立。

毕氏对数学的研究还产生了后来的理念论和共相论。即有了可理喻的东西与可感知的东西的区别，可理喻的东西是完美的、永恒的，而可感知的东西则是有缺陷的。这个思想被柏拉图发扬光大，并从此一直支配着哲学及神学思想。

（四）数本原论

毕氏学派称“数是宇宙万物的本原”，他们研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘。他们从5个苹果、5个手指等事物中抽象出“5”这个数，它使得算术成为可能。在哲学方面，促使人们相信“数是构成实物世界的基础”。毕达哥拉斯将数神秘化，说数是众神之母，是普遍的始原，是自然界中对立性和否定性的原则。他们认为“1”是数的第一原则，万物之母，也是智慧；“2”是对立和否定的原则，是意见；“3”是万物的形体和形式；“4”是正义，是宇宙创造者的象征；“5”是奇数和偶数，雄性与雌性和结合，也是婚姻；“6”是神的生命，是灵魂；“7”是机会；“8”是和谐，也是爱情和友谊；“9”是理性和强大；“10”包容了一切数目，是完满和美好。

毕达哥拉斯学派要求会员在学术上达到一定的水平，其大多是数学家、天文学家、音乐家，他们所信奉的偶像是“数”，他们认为对几何形式和数字关系的沉思以及音乐能达到精神上的解脱，是西方最早探讨美的本质的学派。加入组织要经历神秘的仪式以达到“心灵的净化”，还要接受长期训练和考核，遵守很多规范和戒律，并且宣誓永不泄露学派的秘密和学说。

在毕氏学派看来，数不但有量的多寡，而且也具有几何形状。数为宇宙提供了一个概念模型，数量和形状决定一切自然物体的形式，自然界的一切现象和规律都是由数决定的，都必须服从“数的和谐”，即服从数的关系。“数本原论”从有形的“水本原论”进入无形的意识领域，开西方形而上学之先河，被黑格尔所赞誉。

很多资料传说毕达哥拉斯证明了这定理后破例杀了百头牛举行“百牛祭”，邀全城人庆祝。不过，有史学家分析“杀牛”之举不符合毕氏学派“不杀生”的教义（《数学史》）。但毕氏学派对这一定理证明的狂热追求却影响着后世，延续数千年，得到五百余种证明方法。据传说在百牛大会的祭会上毕达哥拉斯发表演讲，向人们描绘了由数产生点，由点产生线，由线产生出平面图形，由平面图形产生出立体图形，由立体图形感觉到的一切物体产生出水、火、土、空气四种元素。这四种元素以各种不同的方式相互转化，并创造出有生命的、有精神的、球形的世界。

站在现代信息社会的视角看，几乎一切的事物都可以被技术所模拟，而这些技术无不起源于一组组二进制数的运算与处理。可以说现代社会更符合“万物皆数”。但任何先进的东西都是不可以走上极端，正如后世另一位数学家兼哲学家的罗素所批评的，其“现实需服从于理性的”形而上的开端为其后中世纪的黑暗统治埋下种子。

传说毕氏还对哲学下了定义：“‘观察’和‘理解’就是哲学”，他打破了妇女被禁止出席公开的会议的成规，认为妇女也是和男人一样在求知的权利上平等。传说毕氏还是优秀的教师，他认为每一个人都该懂几何。一次他想教一个勤勉的穷人学习几何，就提议如果他能学懂一个定理就给他一块钱币。这个人跟他学几何一段时间后对几何产生了极大的兴趣，反而要求毕达哥拉斯教快一些，并提议多教一个定理他就给一个钱币。

著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔说：“根据古代的传说，是毕达哥拉斯把几何从工匠的手艺提升为一种自由的艺术，就是说提升为一种那些不愿弄脏手脚的自由民的业务。”

我们看到，毕达哥拉斯这位抽象的大师，他擅长把世上有形的万物、无形的声音以及浩瀚的宇宙抽象成数学模型，他也擅长对数学模型进一步抽象化，得到一般的数学规律，……，直到把世界抽象成一句话来顶礼膜拜：“万物皆数”。

据说毕达哥拉斯青年时拜访泰勒斯，已年迈的泰勒斯把他推荐给自己的学生阿曼克西米德。而“数本原论”比泰勒斯的“水本原论”更抽象，却比阿曼克西米德的不知为何物的“阿派郞”本原论更真实，更源于万物。可见毕达哥拉斯保持了古希腊“在继承中发展”的优良传统。