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在空间理论之后，通常介绍两类空间上的算子，一类是Banach空间（完备的线性赋范空间），另一类是Hilbert空间（完备的内积空间）。由完备化定理，非完备空间可以首先将之完备化，所以一般情况下可以将问题限制在完备空间上讨论。
在我们讨论线性算子（线性变换）时学生可能会产生疑问，为什么仅仅讨论线性算子，很多问题实际都是非线性的，所以在进一步讨论之前可以就这一问题做个简单阐述。线性问题之所以重要，主要源于两个方面的原因，一是现实世界中的确存在很多线性问题，例如很多控制系统就是线性的。二是很多非线性问题可以借助线性方法来处理，我们早已在微积分中见识了非线性问题线性化的强大威力，例如微分近似公式、局部地切线代替曲线等。微积分中以直代曲的思想几乎遍及现代数学的每一个分支，拓扑中的向量丛理论是最典型的代表（老师可以视学生实际情况决定就这个问题介绍到什么程度，实际上，只要要求别那么严格，完全可以对本科生介绍一下向量丛的基本思想）。鉴于上述两个原因，直到今天，线性泛函分析依然是数学乃至自然科学研究中普适的框架。
对线性算子概念的理解没有任何实质性难度，事实上，如果忽略维数，线性算子的概念与线性代数中的线性变换在定义上没有什么不同，但线性代数中通常只考虑线性变换的代数结构（如线性变换的标准型），由于赋范空间中带有拓扑结构（通俗地说有极限概念），所以自然需要考虑算子的连续性，由此展开得到线性算子的一些最基本性质，包括连续性与有界性的等价，线性算子的范数等。
与线性代数相比，算子空间是一个新的概念，在学时许可的情况下，老师除了介绍Banach空间上线性算子全体构成空间的基本性质，还可以顺便介绍一下抽象的算子代数。算子代数在数学以及物理学（例如量子力学）中的重要性对于每个现代数学研究者来说都是应该有所了解的，虽然本科阶段要做到系统的了解很困难，但通过Banch空间上算子代数这个具体的例子，学生对其基本思想的理解并没有太本质的困难。
关于线性算子的基本理论中有三个定理号称泛函分析的三大基石，其中之一便是Hahn-Banach延拓定理，也称为扩张定理。最早与这个问题有关的讨论是Schmidt在
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