方程与根的判别式、根与系数的关系有关问题及应用  

寒假专题——方程与根的判别式、根与系数的关系有关问题及应用

 

    学习目标：

  1. 复习一元二次方程解法，判别式，根系关系，深化提高认识，在此背景下，结合几何、三角或其他代数知识解决问题。

  2. 掌握方程与生产、生活及市场经济有关的应用，能正确理解题目意义，建立数学模型，最终解题。

  3. 通过练习一些中考热点，重点考题，明确考试的范围及要求程度。

 

二. 重点、难点

    对基础知识熟练掌握是本节重点；难点是灵活应用新旧知识，融汇贯通。

 

【典型例题】

    例1. 若方程

的两个实数根的倒数和是S，求S的取值范围。

    解：设方程

的两个实数根为

，则

   

，

   

   

方程有两个实数根

   

，且

   

且

    由

，得

   

，且

   

且

 

    例2. 已知

是关于x的一元二次方程

的两个实数根，且

，求

的值（含有m代数式）

    解：

已知方程有两个不等实数根

   

   

   

    由根与系数关系知

    由此可知

的符号与m有关

   

（1）当

时，

    此时，

与

同号

    又

   

，

   

    （2）当m＝1时，

，此时方程为

，它的两根为

，

   

，

   

    （3）当

时，

，则

与

异号

   

   

为正，

为负

   

   

   

 

    例3. 已知关于x的方程

（p为实数）

    （1）求证：此方程必有两个不相等的实数根；

    （2）设

、

是关于x的方程

的两个根，且

，若

和

是方程

的两根，求实数q的值。

    证明：（1）

   

关于x的方程必有两个不相等的实数根

    （2）

   

   

   

   

是方程

的两根

   

    由<2>得：

   

   

由<1>，

   

   

符合题意

 

    例4. 已知关于x的方程

，其中m为实数，当m为何值时

    （1）方程没有实数根？

    （2）方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。

    解：（1）令

，则原方程可化为

    解得

    由此得

①或

②

    对于①由

，得

    对于②由

，得

   

当

时，原方程没有实数根

    （2）由（1）可得，当

时，方程①有两个相等的实数根，但此时，方程②没有实数根，不合题意；当

时，方程②有两个相等的实数根

，此时方程①有两个不相等的实数根

   

当

时，原方程有三个互不相等的实数根

   

 

    例5. 关于x的方程

①与

②，若方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根，求m的值。

    解：设方程①的实数根

，

   

     ③

   

，

    ④

   

    ⑤

    由方程②解得

    若

    即

，即

   

，此时

（舍）

    故

应舍去

    若

，则

，即

   

    当

时，

（舍去）

    当

时，

是整数根，且

满足不等式③

    因此方程①的根是实数

   

 

    例6. 已知，关于x的方程

①的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程

②有实数根，且k为正整数，求代数式

的值。

    解：设方程①的两个实数根为

，根据题意

   

   

    即

     ③

    解得

    经检验

是方程③的解，且使方程

有实数根

    将

代入方程②，得

    当

时，一元一次方程

有实数根

   

，当

时，方程②为一元二次方程，且

    解得

    又k为正整数，且

   

，而

时代数式

无意义

    综上所述，代数式

的值为0

 

    例7. 某商店从厂家以每件21元价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出

件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20％，商店计划赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品应售价多少元？

    解：设每件商品应售价x元，才能使商店赚400元

   

   

   

    又

    而

   

舍去，

    当

时，

    答：该商店需卖出100件商品，每件商品应售价25元才能使商店赚400元。

 

    例8. 为了参加北京市申办2008年奥运会活动，（1）某班学生争取到制作240面彩旗的任务，有10名学生因故没有参加制作，因此这班的其余学生人均均要比原计划多做4面彩旗才能完成任务，问这个班有多少名学生？（2）如果有两边长分别为1，a（其中a>1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料无剩余），使每面彩旗的长，宽之比与原绸布的长、宽之比相同，画出两种不同裁剪方法的示意图，并写出相应a的值。

    解：（1）设这个班有x名学生，那么实际参加彩旗制作的学生有（x－10）名

   

   

    经检验，

都是原方程的根

    但

不合题意，舍去

   

    答：这个班有30名学生

    （2）示意图

     ①

        ②

      ③

         ④

 

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一. 选择题

  1. 关于x的方程

的两实数根互为相反数，则a＝_________。

    A.

                B.

                 C.

                   D.

  2. m为（    ）时，关于x的方程

有两个负实数根

    A. 1，2                 B. 1，2，3

    C. 2，3                 D. 1，3

  3. 关于x的方程

的两实数根都小于1，则m（    ）

    A.

                B.

           C.

         D.

  4. 已知实数a、b满足

，

，则

（    ）

    A. 5               B.

            C. 5或

              D. 5或

  5. 某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年年初投入资金相加所得的总资金作为下一年年初投入资金继续进行经营，如果第一年的年获利率为P，则第一年年终的总资金可用代数式表示为（    ）万元

    A.

                     B.

    C.

                    D.

 

二. 填空

  6. 商店里有种型号的电视机，每台售价1200元，可盈利20％，现有一客商以11500元总价购买了若干台这种型号的电视机，利润15％，若设客商买了x台电视，则商店每台电视机进价为__________，由题列方程_______________，解得_______________。

  7. 某商场今年一月份销售额100万元，二月份销售额下降了10％，该商场采取措施，销量大增，四月达129.6万元，则三、四月平均月销售额增长的百分率为_________。

  8. 若三个方程

，

，

中至少有一个方程有实数根，则a___________

  9. 已知

为

的两实数根，且

，则m________

 

三. 解答题

  10. 已知

①只有整数值，且

②有两个实数根

    （1）当k为整数时，求k

    （2）在（1）条件下，若

，用关于m的代数式表示

  11. 制造一种产品，原来每件成本价500元，销售价625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20％，第二个月将比第一个月提高6％，为使两月后的原销售利润不变，该产品成本价平均每月应降低百分之几？

【试题答案】

一. 选择

  1. A            2. B               3. C               4. D               5. B

二. 填空

  6.

，

，

  7. 20％

  8.

或

  9. m＝1或5

三. 解答题

  10. 解：（1）当

时，方程①可化为

，

，方程①可化为

   

   

方程①的根是整数，所以k为整数的倒数

   

k是整数，

   

    但当

时，

不是一元二次方程

   

舍去

   

    （2）当

时，方程②化为

    ∵方程②有两个实数根，

    即

，又

   

当

时，

    当

时，方程②化为

，方程有两个实数根

   

，即

   

，

当

时，方程②无实根

   

当

时，

  11. 该产品的成本价应降低百分之十